Тема Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

№16 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91006Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — число лет, на которое взят кредит. Пусть $S = 7$ млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 20%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,2 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на $1 n$ часть, то есть на $S n$ млн рублей.

Составим таблицу:

|----|-------------------|----------------------|-------------| |Год-|Долг до-начисления %|Долг-после-начисления %-|--SВыплата---| |-1--|--------S----------|------S-+-0,2⋅S--------|--n-+-0,2⋅S---| |-2--|------n−n1-⋅S--------|--n−n1⋅S-+-0,2⋅ n−n1-⋅S--|Sn-+0,2⋅ n−n1⋅S| |-...-|--------...---------|----------...----------|-----...------| | n | Sn | Sn + 0,2⋅ Sn | Sn +0,2⋅ Sn | ---------------------------------------------------------------

Таким образом, общая сумма выплат составляет

( S ) ( S n − 1 ) (S S) n-+0,2⋅S + n-+ 0,2⋅--n--⋅S + ...+ n-+ 0,2⋅ n- = ( ) = S-⋅n+ 0,2S ⋅ 1+ n-−-1+ ...+ 1- = S + 0,2S⋅ 1-+-1n⋅n = n n n 2 n+ 1 = 7+ 0,2 ⋅7 ⋅-2---= 7+ 0,7(n + 1)

Так как общая сумма выплат равна по условию равна 17,5 млн рублей, то имеем:

7+ 0,7(n+ 1)= 17,5 0,7(n+ 1)= 10,5 n= 14

Таким образом, кредит планируется взять на 14 лет.

Ответ:

На $14$ лет

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#91274Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на четыре года в банке в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

|Месяц и-год|Июль-2026-|И-юль 2027|Ию-ль 2028|И-юль-2029|Ию-ль 2030| |---Долг----|---S-----|---0,8S----|--0,6S---|---0,4S----|----0-----| ------------------------------------------------------------------

Найдите наибольшее значение $S,$ при котором сумма всех платежей будет меньше 50 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.

|---|--------------------|----------------------|--------------| |Год|-Долг до-начисления %|Долг после начисления %---Выплата----| |-1-|---------S----------|------S+-0,25-⋅S-------|-0,25⋅S-+-0,2S--| |-2-|--------0,8S---------|----0,8S+-0,25-⋅0,8S-----|0,25⋅0,8S-+-0,2S-| |-3-|--------0,6S---------|----0,6S+-0,25-⋅0,6S-----|0,25⋅0,6S-+-0,2S-| --4----------0,4S--------------0,4S+-0,25-⋅0,4S------0,25⋅0,4S-+-0,4S--

Общая сумма выплат равна

0,25S(1+ 0,8+ 0,6 +0,4)+S < 50 0,25S⋅2,8 + S < 50 1,7S < 50 500 S < 17- 7 S < 2917 S ≤ 29

Следовательно, наибольшее целое значение $S$ равно 29.

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91742Максимум баллов за задание: 2

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если ежегодно выплачивать по 65 610 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 117 450 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число $r.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Пусть планируется взять в кредит $S$ рублей. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за $t= 1010+0r0 ,$ $x= 65610$ и $y = 117450$ и составим таблицы для обоих случаев. Если кредит будет выплачиваться 4 года, то получаем следующее:

|----------|-------------------|----------------------|-------| |Номер-года-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж| |1---------|---------S---------|----------tS-----------|---x---| |2---------|-------tS-−-x-------|-------t(tS-−-x)-------|---x---| |3---------|----t(tS-− x)−-x----|-----t(t(tS-− x)−-x)----|---x---| -4------------t(t(tS−-x)−-x)−-x-----t(t(t(tS−-x)−-x)−-x)------x----

Тогда после последнего платежа долг будет равен

t(t(t(tS− x)− x)− x)− x= 0 t4S = x(t3+t2+ t+ 1) ( 2 ) S = x(t+-1)-t-+1-- t4

Если кредит будет выплачиваться 2 года, то получаем следующее:

|----------|-------------------|----------------------|-------| |Номер-года-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж| |12---------|-------tS-S−-y-------|-------t(tStS−-y)-------|---yy---| ---------------------------------------------------------------

Тогда после последнего платежа долг будет равен

t(tS− y)− y = 0 t2S = y(t+ 1) S = y(t+21) t

Приравняем правые части полученных уравнений:

x(t+ 1)(t2 +1) y(t+ 1) -----t4------= --t2-- ( 2 ) x-t2+-1-= y t

Сделаем подстановку и найдем $t:$

x 65610 65610 6561 81 (9 )2 t2 = y−-x = 117450-− 65610-= 51840 = 5184 = 64 = 8

Тогда

t= 9= 1,125 ⇒ r = 12,5 8

Ответ:

12,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91743Максимум баллов за задание: 2

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Известно, что если ежегодно выплачивать по 77 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите число $r.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть планируется взять в кредит $S$ рублей. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за $t= 1010+0r0 ,$ $x= 77760$ и $y = 131760$ и составим таблицы для обоих случаев. Если кредит будет выплачиваться 4 года, то получаем следующее:

|----------|-------------------|----------------------|-------| |Номер-года-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж| |1---------|---------S---------|----------tS-----------|---x---| |2---------|-------tS-−-x-------|-------t(tS-−-x)-------|---x---| |3---------|----t(tS-− x)−-x----|-----t(t(tS-− x)−-x)----|---x---| -4------------t(t(tS−-x)−-x)−-x-----t(t(t(tS−-x)−-x)−-x)------x----

Тогда после последнего платежа долг будет равен

t(t(t(tS− x)− x)− x)− x= 0 t4S = x(t3+t2+ t+ 1) ( 2 ) S = x(t+-1)-t-+1-- t4

Если кредит будет выплачиваться 2 года, то получаем следующее:

|----------|-------------------|----------------------|-------| |Номер-года-|Долг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж| |12---------|-------tS-S−-y-------|-------t(tStS−-y)-------|---yy---| ---------------------------------------------------------------

Тогда после последнего платежа долг будет равен

t(tS− y)− y = 0 t2S = y(t+ 1) S = y(t+21) t

Приравняем правые части полученных уравнений:

x(t+ 1)(t2 +1) y(t+ 1) -----t4------= --t2-- ( 2 ) x-t2+-1-= y t

Сделаем подстановку и найдем $t:$

2 -x--- ----77-760----- 77760 7776 144 (12)2 t = y− x = 131 760 − 77760 = 54000 = 5400 = 100 = 10

Тогда

12 t= 10 = 1,2 ⇒ r = 20

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#91744Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 630 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению c концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тысяч рублей;

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r,$ если известно, что общий размер выплат составит 915 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 630$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты за 2030 и 2031 год за $S1$ (из условия они равны).

Обозначим за $r t= 1+ 100.$

Из условия в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 630 тысяч рублей, то есть равным $S.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1) значение в столбце «Выплата» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;

2) сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

|----|---------------|-----------------|--------|-------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга |Выплата | Сумма долга | |----|до начисления %|после-начисления %-|--------|после выплаты| |-1--|------S--------|-------tS--------|-tS−-S--|-----S-------| |-2--|------S--------|-------tS--------|-tS−-S--|-----S-------| |-3--|------S--------|-------tS--------|-tS−-S--|-----S-------| |-4--|------S--------|-------tS--------|---S1---|---tS−-S1----| --5-------tS−-S1----------t(tS-− S1)--------S1----t(tS-−-S1)−-S1-

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 5 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

t(tS− S1)− S1 = 0 S⋅t2− S1⋅t− S1 = 0 S ⋅t2 = S1⋅(t+ 1) 2 S1 = S-⋅t t+ 1

Известно, что общий размер выплат, то есть сумма по столбцу «Выплата», составит 915 тыс. рублей. Запишем это в виде уравнения:

tS − S+ tS− S +tS − S + S1+ S1 = 915 3S(t− 1)+ 2S1 = 915

Подставим сюда $S1 :$

S ⋅t2 3S ⋅(t− 1)+ 2⋅t+-1 = 915 ( ) 3S-t2-− 1-+-2St2= 915 t+ 1 5t2− 3 S⋅-t+-1-= 915 2 630⋅ 5t-− 3-= 915 t+ 1 5t2-− 3 42⋅ t+ 1 = 61

Домножим обе части уравнения на $t+ 1> 0:$

2 210t − 126 = 61t+ 61 210t2 − 61t− 187− = 0

Найдем дискриминант:

2 2 D = 61 + 4⋅210⋅187= 3721 +157080= 160801= 401

Тогда

⌊ 61+ 401 462 | t= --420--= 420 462 ⌈ 61−-401- ⇒ t= 420 t= 420 < 0

Заметим, что

t = 462-= 420+-42= 1+ -1 = 1+ -10- 420 420 10 100

Значит, $r = 10.$

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#91745Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r,$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год — 121 000 рублей.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Если $r$ — количество начисляемых процентов, то после начисления процентов сумма долга умножается на коэффициент, равный

y =(100+ r):100= 1+ 0,01r.

Составим таблицу (ведя все вычисления в тыс. рублей):

|---|--------------------|----------------------|--------| |Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления %|Выплата |1--|--------400---------|--------400y----------|--330---| -2--------400y−-330------------(400y−-330)y---------121----

Так как после второй выплаты долг банку должен быть равен нулю, то получаем уравнение

(400y− 330)y− 121 = 0 400y2− 330y − 121= 0

Найдем его дискриминант:

D =3302+ 4⋅400⋅121= 1102⋅(32+42)= 1102⋅52

Тогда так как в силу $r > 0$ и $y > 0$ отрицательный корень мы не рассматриваем, то имеем:

y = 330-+550-= 880= 110 800 800 100

Таким образом,

110 1 +0,01r = 100 ⇒ r = 10

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2