Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Неравенства на Иннополисе

Тема Иннополис (Innopolis Open)

Неравенства на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90010

Про положительные числа $a,b,c$ известно, что $a +b+ c= 1$ , и каждое из них не превосходит $1 2$ . Докажите, что

√- √- √- ∘ -2--2---2 √- √ - √ - a+ b + c ≤ a + b+ c +2(b a+ c b+a c)

Источники: Иннополис - 2024 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать доказательство

Перенесём влево $2(b√a-+c√b +a√c),$ чтобы вынести корни за скобки. Получаем, что нужно доказать:

√- √- √- ∘-2---2--2 a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1− 2c)+ c⋅(1− 2a)≤ a + b +c

В силу того, что $a,b$ и $c$ меньше либо равны $1, 2$ числа $(1− 2a),(1− 2b),(1 − 2c)$ неотрицательны, а их сумма равна $1,$ ведь $a+ b+ c= 1.$ Функция $√x$ является вогнутой, тогда применив неравенство Йенсена для этой функции, переменных $a,b$ и $c,$ коэффициентов $(1− 2b),(1 − 2c)$ и $(1− 2a),$ получаем:

√- √- √- ∘--------------------------- a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1− 2c)+ c⋅(1− 2a)≤ a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1 − 2c)+c⋅(1− 2a)

Теперь заметим, что

a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1 − 2c)+c⋅(1− 2a)=

= a⋅(a+ b+ c− 2b)+ b⋅(a+ b+ c− 2c)+c⋅(a+ b+c− 2a)=a2 +b2+ c2