№14 из ЕГЭ 2024 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91269Максимум баллов за задание: 3

В тетраэдре $ABCD$ ребро $AD = 4,$ а все остальные рёбра равны 7.

a) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC.$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

а) Пусть точка $M$ — середина $BC.$ Тогда рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC.$ Все их стороны по условию равны 7. Значит, они равносторонние. Тогда $AM$ и $DM$ — их медианы, которые также являются их высотами. Следовательно, $BC ⊥ AM$ и $BC ⊥ DM.$

Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AMD ),$ которая содержит прямые $AM$ и $DM,$ перпендикулярные $BC.$ Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AMD ),$ которая перпендикулярна прямой $BC,$ значит, $BC ⊥ AD.$

$PIC$

б) Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC.$ Его сторона равна 7, $AM$ — его медиана и высота, следовательно,

√3 7√3 AM = AB ⋅ 2--= -2-.

Аналогично в равностороннем треугольнике $DBC$ со стороной 7 и медианой $DM :$

√ - DM = 7--3= AM. 2

Пусть точка $N$ — середина $AD.$ Тогда рассмотрим треугольник $AMD.$ В нем $AM = DM,$ значит, $MN$ — его медиана и высота. Тогда $MN ⊥ AD.$

С другой стороны, $MN ⊥ BC,$ так как $MN$ лежит в плоскости $(AMD )⊥ BC.$

Следовательно, $MN$ — расстояние между $AD$ и $BC.$

Так как $N$ — середина $AD,$ то $AN = 0,5AD = 2.$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника $AMN :$

AN2 + MN2 =AM2 MN2 = AM2 − AN2 √ - 2 ( 7-3)2 2 MN = 2 − 2 49⋅3 MN2 = --4- − 4 MN2 = 147−-16 4 MN2 = 131 √-4- -131- MN = 2

Ответ:

б) $√--- -131- 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#91270Максимум баллов за задание: 3

В тетраэдре $ABCD$ ребро $AD = 2,$ а все остальные рёбра равны 4.

a) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

б) Найдите объём тетраэдра $ABCD.$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

а) Пусть точка $M$ — середина $BC.$ Тогда рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC.$ Все их стороны по условию равны 4. Значит, они равносторонние. Тогда $AM$ и $DM$ — их медианы, которые также являются и их высотами. Следовательно, $BC ⊥ AM$ и $BC ⊥ DM.$

Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AMD ),$ которая содержит прямые $AM$ и $DM,$ перпендикулярные $BC.$ Прямая $AD$ лежит в плоскости $(AMD ),$ которая перпендикулярна прямой $BC,$ значит, $BC ⊥ AD.$

$PIC$

б) Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC.$ Его сторона равна 4, $AM$ — его медиана и высота, следовательно,

√3 √- AM = AB ⋅2--= 2 3.

Аналогично в равностороннем треугольнике $DBC$ со стороной 4 и медианой $DM :$

√ - DM =2 3= AM.

Пусть точка $N$ — середина $AD,$ поэтому $AN = 0,5AD = 1.$ Тогда рассмотрим треугольник $AMD.$ В нем $AM = DM,$ значит, $MN$ — его медиана и высота. Тогда $MN ⊥ AD.$

По теореме Пифагора для треугольника $AMN :$

2 2 2 AN + MN =AM MN2 = AM2 − AN2 (√ -)2 MN2 = 2 3 − 12 2 MN = 12− 1 MN =√11-

Пусть $DO$ — высота треугольника $AMD.$ Тогда $DO ⊥ AM.$ Заметим, что $BC ⊥(AMD ),$ следовательно, $BC ⊥DO.$ Тогда $DO ⊥ (ABC ),$ поэтому $DO$ — высота пирамиды.

Найдем $DO,$ для этого вычислим площадь треугольника $AMD$ двумя способами:

1⋅AD ⋅MN = SAMD = 1 ⋅AM ⋅DO 2 2 AD ⋅MN =AM ⋅DO √-- √ - 2⋅ 11= 2√ 3⋅DO DO = -√11 3

Тогда искомый объем равен

VABCD = 1⋅DO ⋅SABC = 3 = 1 ⋅DO ⋅ 1⋅AM ⋅BC = 3 2 1 √11- 1 √- 4√11- = 3 ⋅√3- ⋅2 ⋅2 3 ⋅4= 3

Ответ:

б) $√-- 4-11- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91733Максимум баллов за задание: 3

Дан правильный тетраэдр $ABCD.$ Точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямым $AB$ и $CD,$ пересекает прямую $MN$ в точке $K,$ а ребро $AC$ в точке $L.$

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите $AL,$ если известно, что $MK = 2,$ $KN = 3.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Проведем $LP ∥AB$ и $LR ∥ CD.$ Эти прямые лежат в плоскости $α.$ Проведем $PT ∥CD.$ Получаем, что $LPTR$ — сечение тетраэдра плоскостью $α.$

Так как тетраэдр правильный, то все его ребра одинаковые. Следовательно, $AN = BN$ — высоты правильных треугольников $ACD$ и $BCD.$ Значит, $△ABN$ — равнобедренный, следовательно, его медиана $MN$ является также высотой, откуда $MN ⊥ AB.$ Аналогично $△CDM$ — равнобедренный и высота $MN ⊥ CD.$ Значит, $MN ⊥ α,$ так как $α∥ AB$ и $α∥ CD.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Пусть $AN ∩LR = O,$ $BN ∩ PT = Q.$ Тогда прямая $OQ$ лежит в плоскостях $α$ и $(ABN ),$ следовательно, $OQ ∥AB.$ Тогда по теореме Фалеса имеем:

AO-= MK-- = 2 ON KN 3

По теореме Фалеса в грани $ACD :$

AL AO 2 2 LC-= ON- = 3 ⇒ AL = 5AC

Пусть ребро тетраэдра равно $a.$ Тогда $1 MB = 2a,$ $√3 BN = -2 a.$ По теореме Пифагора в треугольнике $MNB :$

∘--√------------ ( -3-)2 (1 )2 -a- √- MN = 2 a − 2a = √2 ⇒ a= 5 2.

Значит, искомый отрезок равен

AL = 2a= 2 ⋅5√2 =2√2- 5 5

Ответ:

б) $√ - 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91734Максимум баллов за задание: 3

Дан правильный тетраэдр $ABCD.$ Точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямым $AB$ и $CD,$ пересекает прямую $MN$ в точке $K,$ а ребро $AC$ в точке $L.$

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите $AL,$ если известно, что $MK = 1,$ $KN = 2.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Проведем $LP ∥AB$ и $LR ∥ CD.$ Эти прямые лежат в плоскости $α.$ Проведем $PT ∥CD.$ Получаем, что $LPTR$ — сечение тетраэдра плоскостью $α.$

Так как тетраэдр правильный, то все его ребра одинаковые. Следовательно, $AN = BN$ — высоты правильных треугольников $ACD$ и $BCD.$ Значит, $△ABN$ — равнобедренный, следовательно, его медиана $MN$ является также высотой, откуда $MN ⊥ AB.$ Аналогично $△CDM$ — равнобедренный и высота $MN ⊥ CD.$ Значит, $MN ⊥ α,$ так как $α∥ AB$ и $α∥ CD.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Пусть $AN ∩LR = O,$ $BN ∩ PT = Q.$ Тогда прямая $OQ$ лежит в плоскостях $α$ и $(ABN ),$ следовательно, $OQ ∥AB.$ Тогда по теореме Фалеса имеем:

AO-= MK-- = 1 ON KN 2

По теореме Фалеса в грани $ACD :$

AL AO 1 1 LC-= ON- = 2 ⇒ AL = 3AC

Пусть ребро тетраэдра равно $a.$ Тогда $1 MB = 2a,$ $√3 BN = -2 a.$ По теореме Пифагора в треугольнике $MNB :$

∘--√------------ ( -3-)2 (1 )2 -a- √- MN = 2 a − 2a = √2 ⇒ a= 3 2.

Значит, искомый отрезок равен

AL = 1a = 1⋅3√2-= √2 3 3

Ответ:

б) $√ - 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#91735Максимум баллов за задание: 3

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ на рёбрах $AB,$ $A1B1$ и $B1C1$ отмечены точки $K,$ $L$ и $M$ соответственно так, что $KLMC$ — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8.

a) Докажите, что точка $M$ — середина $B1C1.$

б) Найдите угол между плоскостями $(KLM )$ и $(ABC ),$ если площадь трапеции $KLMC$ равна $√ - 12 2.$

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Проведем $C1K1 ∥CK.$ Так как $LM ∥C1K1$ и $LM < C1K1,$ то $LM = 4,$ $C1K1 = CK = 8.$ Следовательно, $△B1LM ∼ △B1K1C1$ с коэффициентом подобия $12,$ откуда $B1M = 12B1C1.$ Следовательно, $M$ — середина $B1C1.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Рассмотрим прямоугольные $△KK1L$ и $CC1M.$ Их гипотенузы и два катета равны, следовательно, равны другие два катета, то есть $K1L = C1M.$ Отсюда $B L = B M = 1B C . 1 1 2 1 1$ Тогда $△B ML 1$ прямоугольный и равнобедренный, откуда имеем:

√ - √ - √- √- B1M = LM : 2= 4: 2= 2 2 ⇒ B1C1 = 4 2

Пусть $h$ — высота трапеции $KLMC,$ тогда по формуле площади трапеции

√- 4+ 8 √- 12 2 = -2--⋅h ⇔ h= 2 2

Проведем $MH ⊥ CK,$ $MH = h.$ Тогда $HC = (8− 4):2= 2,$ следовательно, $√- MC = 2 3$ по теореме Пифагора. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $MCC1 :$

2 2 2 MC = CC 1 + C1M ( √-)2 2 ( √ )2 2 3 =CC 1 + 2 2 CC2 = 4 1 CC1 = 2

Проведем $′ MM ⊥ BC,$ тогда по теореме о трех перпендикулярах $′ M H ⊥ CK.$ Следовательно, по определению $′ ∠MHM = φ$ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $(KLM )$ и $(ABC ).$ Следовательно, можем найти искомый угол:

′ sin φ= MM---= -2√--= √1- ⇒ φ = 45∘ MH 2 2 2

Ответ:

б) $45∘$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3