№15 из ЕГЭ 2023 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63275Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(log2 (x + 3)− log (x2 +6x +9)+ 1)⋅log(x+ 2)≤ 0. 0,25 4 4

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

( || x+ 3> 0 |{ 2 || x + 6x+ 9> 0 ⇒ x > −2 |( x+ 2> 0

По свойствам логарифмов на ОДЗ имеем:

log4(x2+ 6x + 9) = log4(x + 3)2 = 2log4(x +3) ( )2 log20,25(x+ 3)= log0,25(x +3) = (log4−1(x+ 3))2 = =(− log (x+ 3))2 = (log (x+ 3))2 4 4

Тогда получаем

2 (log4(x +3)− 1) ⋅log4(x+ 2)≤ 0

Отсюда имеем одно из двух условий.

Либо первое:

log4(x+ 3)− 1 = 0 ⇔ x+ 3= 4 ⇔ x = 1

Либо второе:

log4(x+ 2)≤ 0 ⇔ 0< x+ 2≤ 1 ⇔ − 2< x ≤− 1

С учётом ОДЗ получаем

x ∈(−2;−1]∪ {1}

Ответ:

$(−2;−1]∪ {1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63276Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log ((x− 4)(x2− 2x− 8)) +1 ≥ 0,5log(x− 4)2. 25 5

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ неравенства:

$pict$

На ОДЗ преобразуем логарифмы:

( ( )) ( ) log25 (x − 4) x2− 2x− 8 = 0,5log5 (x − 4)2(x+ 2) =0,5log5(x−4)2+0,5log5(x+2).

Тогда исходное неравенство примет вид:

0,5 log5(x − 4)2+ 0,5 log5(x + 2)+ 1 ≥0,5log5(x− 4)2 0,5log5(x+ 2)≥ −1 log5(x + 2) ≥− 2 log (x +2)≥ log 0,04 5 5 x + 2≥ 0,04 x ≥ −1,96

С учётом ОДЗ получаем, что $x ∈ [−1,96;4)∪ (4;+ ∞).$

Ответ:

$[−1,96;4)∪ (4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63277Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (x3− 3x2+ 3x− 1)≥ log (x2− 1)− 5. 8 2

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Так как $log2a= log8a3,$ то неравенство равносильно

( ) log8(x− 1)3+ 5≥ log8 (x− 1)3(x+ 1)3 log (x− 1)3+ log 85 ≥ log ((x− 1)3(x+ 1)3) 8 ( 8) 8( ) log8(x − 1)3⋅85 ≥ log8 (x− 1)3(x+ 1)3 (x− 1)3⋅323− (x − 1)3(x +1)3 ≥ 0 3 3 3 (x − 1) ⋅(32 − (x +1) )≥ 0

По ОДЗ $3 (x− 1) > 0,$ следовательно, на ОДЗ неравенство равносильно

323− (x+ 1)3 ≥0 3 3 (x +1) ≤ 32 x +1 ≤32 x≤ 31

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем, что $x ∈(1;31].$

Ответ:

$(1;31]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63279Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

----log2x2-− log3x2-- ≤ 0. log26(2x2 − 5x +12,5) +1

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ неравенства:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что знаменатель дроби всегда положительный, так как квадрат логарифма — число неотрицательное. Тогда неравенство равносильно следующему:

log2x2 − log3x2 ≤ 0,

которое обращается в равенство при $x = ±1.$

Пусть теперь $x ⁄= ±1.$ Тогда логарифмы можно преобразовать и получить такое неравенство:

--1---− --1---≤ 0 logx22 logx23 logx2-3−-logx22 logx2 2logx23 ≤ 0

Применим метод рационализации к числителю, а также к каждому логарифму в знаменателе:

2 ------(x-− 1)(3−-2)---- ≤ 0 (x2− 1)(3− 1)(x2− 1)(2 − 1) -----1----- (x− 1)(x +1) ≤ 0

Решением этого неравенства является промежуток $(−1;1).$ С учётом ОДЗ $(x ⁄= 0)$ и того, что $x= ±1$ являются решениями, получаем, что $x ∈[−1;0)∪(0;1].$

Ответ:

$[−1;0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63791Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ( 2 )) 2 log25 (x− 4) x − 2x− 8 ≥ 0,5log5(x− 4) + 1.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

На ОДЗ неравенство равносильно

( 2 ) 2 log25 (x−( 4)(x +2) ≥)log25(x −( 4) + log25)25 log25(x − 4)2(x +2) ≥ log25 25(x − 4)2 (x− 4)2(x +2)≥ 25(x− 4)2 2 (x − 4)(x+ 2− 25)≥ 0 (x− 4)2(x − 23)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x42−−+3$

Получаем $x ∈ {4} ∪[23;+ ∞).$ Пересекая данные значения с ОДЗ, получаем окончательный ответ: $x∈ [23;+∞ ).$

Ответ:

$[23;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63792Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( 3 2 ) 4 log0,5 x − 3x − 9x+ 27 ≤ log0,25(x − 3) .

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

Получаем $x ∈ (− 3;3)∪ (3;+ ∞).$

На ОДЗ неравенство равносильно

2 2 log0,5(x− 3)(x+ 3)≤ log0,5(x− 3) (x− 3)2(x+ 3)≥ (x− 3)2 (x − 3)2(x+ 2)≥ 0

Тогда $x ∈[−2;+∞ ).$ Пересечем полученные значения с ОДЗ и получим

x∈ [−2;3)∪(3;+∞ )

Ответ:

$[−2;3)∪(3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63793Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( 3 2 ) 4 log0,1 x − 5x − 25x+ 125 ≤ log0,01(x − 5) .

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

Отсюда по методу интервалов получаем

x∈ (−5;5)∪(5;+∞ )

На ОДЗ исходное неравенство равносильно

log (x− 5)2(x+ 5)≤ log (x− 5)2 0,1 0,1 (x− 5)2(x+ 5)≥ (x− 5)2 2 (x − 5) (x+ 4)≥ 0

Отсюда по методу интервалов получаем

x∈ [−4;+∞ )

Пересечем полученные значения с ОДЗ и окончательно получим

x∈ [−4;5)∪(5;+∞ )

Ответ:

$[−4;5)∪(5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63795Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log x2 − log x2 log2(2x22−-10x+-312,5)+-1 ≤ 0. 6

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Заметим, что знаменатель левой части представляет собой выражение $a2+ 1> 0$ при любом $a.$ Следовательно, ОДЗ неравенства:

$pict$

Так как знаменатель дроби в левой части на ОДЗ положителен, то на ОДЗ неравенство равносильно

2 2 log2x − log3x ≤ 0

При $x2 = 1,$ то есть $x = ±1$ неравенство равносильно

log21− log31 ≤0 ⇔ 0 − 0≤ 0 ⇔ 0≤ 0

Получили верное неравенство, следовательно, $x= ±1$ являются решением.

При $x⁄= ±1$ неравенство можно преобразовать к виду

--1---− --1---≤ 0 logx22 logx23 ---logx2-32--- logx22 ⋅logx23 ≤ 0

Применим метод рационализации для логарифмов:

( ) -----(x2−-1)-32 −-1----- (x2− 1)(2− 1)(x2− 1)(3 − 1) ≤ 0 (x− 1)(x +1) (x−-1)2(x-+1)2 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x∈ (−1;1)

Объединим $x= ±1$ с $x ∈ (− 1;1),$ а затем пересечем с ОДЗ и получим окончательно

x ∈[−1;0)∪(0;1]

Ответ:

$[−1;0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63796Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3(3− x)− log3(x +2) log2-(x2)+-log-(x4)+-1-≥0. 3 3

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Знаменатель левой части равносилен

2 2 2 2 2 log3x + 2log3x +1 = (log3 x +1)

Следовательно, ОДЗ неравенства

$pict$

Получаем ОДЗ:

{ } x ∈(− 2;3)∖ − √1;0;√1- 3 3

На ОДЗ знаменатель $(log3x2+ 1)2 >0,$ следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

log3(3− x)− log3(x + 2) ≥0 3− x ≥x +2 1≥ 2x x≤ 1 2

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем ответ

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ] x∈ − 2;− √-- ∪ − √-;0 ∪ 0;2 3 3

Ответ:

$( ) ( ) ( ] −2;−√1- ∪ −√1-;0 ∪ 0; 1 3 3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100814Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ( 2 )) 2 log4(x − 5) x − 2x− 15 + 1≥ 0,5log2(x− 5) .

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Алтайский край

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

На ОДЗ неравенство равносильно

( 2 ) 2 log4 (x(− 5)(x+ 3) +)log44≥ l(og4(x− 5)) log4 4(x − 5)2(x+ 3) ≥log4 (x − 5)2 4(x − 5)2(x + 3) ≥(x − 5)2 2 (x− 5) (4x +12− 1)≥ 0 (x− 5)2(4x+ 11)≥ 0 2( 11) 4(x − 5) x+ 4 ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$11 x−5−++ 4$

Получаем $[ ) x ∈ − 11;+∞ . 4$ Пересекая данные значения с ОДЗ, окончательно получаем

[ ) x∈ − 11;5 ∪(5;+ ∞ ). 4

Ответ:

$[ ) − 11;5 ∪ (5;+ ∞) 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#111007Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

----log2x2-− log3x2---≥ 0. log26(2x2− 10x+ 12,5)+ 1

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ неравенства:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что знаменатель дроби всегда положительный, так как квадрат логарифма — число неотрицательное. Тогда неравенство равносильно следующему:

log2x2 − log3x2 ≥ 0,

которое обращается в равенство при $x = ±1.$

Пусть теперь $x ⁄= ±1.$ Тогда логарифмы можно преобразовать и получить такое неравенство:

--1---− --1---≥ 0 logx22 logx23 logx2-3−-logx22 logx2 2logx23 ≥ 0

Применим метод рационализации к числителю, а также к каждому логарифму в знаменателе:

2 ------(x-− 1)(3−-2)---- ≥ 0 (x2− 1)(3− 1)(x2− 1)(2 − 1) -----1----- (x− 1)(x +1) ≥ 0

Решением этого неравенства является множество $(− ∞;− 1)∪(1;+∞ ).$ С учётом ОДЗ $(x ⁄= 0, x ⁄=2,5)$ и того, что $x = ±1$ являются решениями, получаем, что $x∈ (− ∞;− 1]∪ [1;2,5) ∪(2,5+ ∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [1;2,5)∪ (2,5+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124941Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

---log3x2-− log5x2---≥ 0. log215(2x2− 6x+ 4,5)+ 1

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ неравенства:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что знаменатель дроби всегда положительный, так как квадрат логарифма — число неотрицательное. Тогда неравенство равносильно следующему:

log3x2 − log5x2 ≥ 0,

которое обращается в равенство при $x = ±1.$

Пусть теперь $x ⁄= ±1.$ Тогда логарифмы можно преобразовать и получить такое неравенство:

--1---− --1---≥ 0 logx23 logx25 logx2-5−-logx23 logx2 3logx25 ≥ 0

Применим метод рационализации к числителю, а также к каждому логарифму в знаменателе:

2 ------(x-− 1)(5−-3)---- ≥ 0 (x2− 1)(3− 1)(x2− 1)(5 − 1) -----1----- (x− 1)(x +1) ≥ 0

Решением этого неравенства является множество $(− ∞;− 1)∪(1;+∞ ).$ С учётом ОДЗ $(x ⁄= 0, x ⁄=1,5)$ и того, что $x = ±1$ являются решениями, получаем, что $x∈ (− ∞;− 1]∪ [1;1,5) ∪(1,5+ ∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [1;1,5)∪ (1,5+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124942Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (x3 − 6x2+ 12x− 8)≥ log(x2− 4)− 2. 125 5

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Решим неравенство на ОДЗ. Так как $log5 a= log125a3,$ то неравенство равносильно

( ) log125(x− 2)3+ 2≥ log125 (x− 2)3(x +2)3 log (x − 2)3+ log 1252 ≥log ((x− 2)3(x+ 2)3) 125 ( 125) 12(5 ) log125 (x − 2)3⋅1252 ≥ log125 (x− 2)3(x+ 2)3 (x− 2)3⋅253− (x − 2)3(x +2)3 ≥ 0 3 3 3 (x − 2) ⋅(25 − (x +2) )≥ 0

По ОДЗ $3 (x− 2) > 0,$ следовательно, на ОДЗ неравенство равносильно

253− (x+ 2)3 ≥0 3 3 (x +2) ≤ 25 x +2 ≤25 x≤ 23

Пересекая полученные значения с ОДЗ, получаем, что $x ∈(2;23].$

Ответ:

$(2;23]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#56118Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4x− 2x+3+ 7 2x− 9 1 4x−-5⋅2x+-4 ≤ 2x−-4 + 2x−-6.

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть:

4x− 2x+3+ 7 (2x)2− 8⋅2x+ 7 4x−-5⋅2x+-4 = (2x)2−-5⋅2x+-4

Сделаем замену $2x = t> 0.$ Тогда получим

t2 − 8t+ 7 t− 9 1 t2-− 5t+-4-≤ t− 4-+ t−-6

Заметим, что $t2− 8t+ 7= (t − 1)(t− 7),$ а $t2− 5t+ 4= (t− 1)(t− 4).$ Тогда

(t−-1)(t-− 7)-≤ t− 9-+-1- (t− 1)(t − 4) t− 4 t− 6

Сократим левую часть на $(t− 1),$ запомнив, что $t⁄= 1.$

t−-7≤ t−-9 + -1-- t− 4 t− 4 t− 6 t−-7 − t−-9− -1--≤ 0 t− 4 t− 4 t− 6 (t−-6)((t−-7)−-(t−-9))− (t−-4) (t− 4)(t− 6) ≤ 0 (t− 6)(t− 7− t+ 9)− t+ 4 ------(t−-4)(t−-6)------≤ 0 2t−-12-−-t+4-≤ 0 (t− 4)(t− 6) ---t−-8---- (t− 4)(t− 6) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t468+−+−$

Пересекая с условиями $t> 0$ и $t ⁄=1,$ получаем $t∈ (0;1)∪(1;4)∪(6;8].$

Сделаем обратную замену:

0< t< 1 ⇔ 0 < 2x < 1 ⇔ x< 0 x 0 x 2 1 < t< 4 ⇔ 1< 2 < 4 ⇔ 2 < 2 <2 ⇔ 0 < x< 2 6 < t≤ 8 ⇔ 6< 2x ≤ 8 ⇔ 2log26 < 2x ≤ 23 ⇔ log2 6< x≤ 3

Таким образом, $x ∈(− ∞;0)∪ (0;2)∪(log2 6;3].$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(0;2)∪(log26;3]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#56119Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x+ 13 x x 27---x−+-110⋅9-+-1x0⋅3-−-5≤ 3x+ -x1-- + -x+11---. 9 2 − 10⋅3 + 3 3 − 2 3 − 1

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $3x = t.$ Тогда неравенство примет вид

3t3− 10t2+ 10t− 5 1 1 ---3t2− 10t+-3--≤ t+ t−-2 + 3t−-1 3t3−-10t2+-10t−-5 --1- --1-- (3t− 1)(t− 3) ≤ t+ t− 2 + 3t− 1 (∗) t+ ---7t−-5--- ≤ t+ ---4t−-3--- (3t− 1)(t− 3) (3t− 1)(t− 2) 7t− 5 4t− 3 (3t−-1)(t−-3) ≤ (3t− 1)(t− 2) ----3t2-− 4t+-1--- (3t− 1)(t− 3)(t− 2) ≤ 0 ---(3t−-1)(t-− 1)--≤ 0 (3t− 1)(t− 3)(t− 2)

$(∗)$ здесь разделим в столбик числитель $3t3− 10t2+ 10t− 5$ на $(3t− 1)(t− 3).$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$1 t123+−+−−3$

Тогда получаем

(| [ (|[ x ( [ |{ t≤ 1 |{ 3 ≤ 1x |{ x ≤0 | 2<1t< 3 ⇒ | 2< 31 < 3 ⇔ | log32 < x< 1 |( t⁄= 3 |(3x ⁄= 3 ( x⁄= − 1

В итоге получаем

x ∈ (− ∞;− 1) ∪(−1;0]∪(log32;1).

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (− 1;0]∪ (log32;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57005Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x − 3x+1− 19 9x+1− 3x+4 +2 x ----3x−-6--- + ----3x-− 9----≤ 10⋅3 + 3.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $3x = t.$ Тогда неравенство примет вид

t2− 3t− 19 9t2− 81t+ 2 --t−-6---+ ---t−-9--- ≤ 10t+ 3

Выделим целую часть в дробях:

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t369+−+−$

Отсюда получим

[ t≤ 3 6< t< 9

Сделаем обратную замену:

[3x ≤ 3 [x ≤1 6< 3x < 9 ⇔ log 6 < x< 2 3

Окончательно получаем

x∈ (−∞; 1]∪(log36;2)

Ответ:

$(−∞; 1]∪(log36;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57006Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x 2 x+2 4x +7 ⋅2x +20 2 + 2x−-4 + 4x-− 3-⋅2-x+2-+32 ≤ 1

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t.$ Тогда неравенство примет вид

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов.

$t3481+−−+−$

Получаем

(|{ [t≤ 1 3≤ t< 8 |( t⁄= 4

Сделаем обратную замену:

( [ ( [ |{ 2x ≤ 1 |{ x≤ 0 | 3≤ 2x < 8 ⇔ | log23≤ x < 3 ( 2x ⁄= 4 ( x⁄= 2

Таким образом, получаем $x ∈ (− ∞;0]∪ [log23;2)∪ (2;3).$

Ответ:

$(−∞; 0]∪[log23;2)∪(2;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#58734Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-------12------- ------7------ (log2x + 4log x)2 + log23x+ 4log3x + 1≥ 0. 3 3

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $log23x + 4log3x =t.$ Тогда получим следующее неравенство:

$pict$

Пусть $log3x= s.$ Тогда $t= s2+ 4s.$ Значит,

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$s−−−−0++−−++4321$

Таким образом, $s ∈(−∞; −4)∪ (− 4;− 3]∪{−2} ∪[−1;0)∪(0;+∞ ).$ Сделаем обратную замену:

$pict$

Пересекая полученные значения c ограничениями логарифма $x> 0,$ получаем

( ) ( ] { } [ ) x ∈ 0;-1 ∪ -1;-1 ∪ 1 ∪ 1;1 ∪(1;+ ∞ ) 81 81 27 9 3

Ответ:

$( ) ( ] { } [ ) 0; 1 ∪ 1; 1- ∪ 1 ∪ 1 ;1 ∪ (1;+∞ ) 81 81 27 9 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2436Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4x−x2− 1 4x−x2−1 9 − 36 ⋅3 + 243≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2023 и 2017, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства: $x ∈ℝ.$ Сделаем замену $3−x2+4x− 1 = t.$

Тогда неравенство примет вид

t2− 36t+243≥ 0 (t− 9)(t− 27) ≥0 t ∈(−∞; 9]∪[27;+ ∞)

Сделаем обратную замену:

$pict$

Так как $x2− 4x+ 4= (x− 2)2,$ то получаем

$pict$

Ответ:

$(−∞; 1]∪{2}∪ [3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#65016Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3x 4 8 ----( x-) ≥ log3x-+ log23x-− log3x3. log3 27

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log3x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$--y- 4 ---8-- y − 3 ≥ y + y2 − 3y y2− 4(y − 3)− 8 ---y(y−-3)----≥ 0 -(y-− 2)2≥ 0 y(y− 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y023+−−+$

Получаем

⌊ y < 0 |⌈y = 2 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊log x < 0 ⌊ 0< x< 1 | 3 ⇔ | ⌈log3x = 2 ⌈ x= 9 log3x > 3 x> 27

Окончательно получим

x∈ (0;1)∪ {9}∪(27;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{9}∪ (27;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».