№15 из ЕГЭ 2023 - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#65017Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log(64x) log x− 3 log x4+ 16 log4x−-3 + log4(64x) ≥-lo4g2x−-9-. 4 4 4

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log4x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$y+-3 y-− 3 4y+-16 y− 3 + y +3 ≥ y2 − 9 y2+ 6y+ 9+ y2− 6y + 9− 4y − 16 --------(y+-3)(y-− 3)--------≥ 0 --2(y−-1)2-- ≥0 (y+ 3)(y − 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−13+−−+ 3$

Получаем

⌊ y < −3 |⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ -1 | log4x< − 3 | 0< x< 64 ⌈ log4x= 1 ⇔ |⌈ x= 4 log4x> 3 x> 64

Тогда окончательно получаем

( 1 ) x∈ 0;64 ∪{4}∪ (64;+∞ )

Ответ:

$( ) 0; 1 ∪ {4}∪ (64;+∞ ) 64$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#65018Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (25x) log (x)− 2 6− log (x4) log-5(x)− 2-+-lo5g-(25x)-≥ -log2(5x)− 4-. 5 5 5

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $t=log5x.$ Тогда неравенство при $x > 0$ равносильно

$t+2- t−-2 6-− 4t t− 2 + t+ 2 ≥ t2− 4 (t+ 2)2+ (t− 2)2 6− 4t --(t− 2)(t+2)- − t2−-4-≥ 0 2t2+-8−-6+-4t≥ 0 (t− 2)(t+ 2) 2(t+ 1)2 (t−-2)(t+-2) ≥ 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t−−2+−−+ 21$

Получаем совокупность

⌊ t< −2 |⌈t= −1 t> 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ |log5x < −2 |0< x< 125- ⌈log5x = −1 ⇔ ⌈x= 15 log5x > 2 x> 25

Тогда окончательно получаем

( ) { } -1 1 x∈ 0;25 ∪ 5 ∪(25;+∞ )

Ответ:

$( ) { } 0; 1 ∪ 1 ∪ (25;+ ∞) 25 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#65019Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3x 2 5 ---(-x)-≥ log3-x + log23x-−-log3(x3). log3 27

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log3x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$--y- 2 ---5-- y − 3 ≥ y + y2 − 3y y2− 2(y − 3)− 5 ---y(y−-3)----≥ 0 -(y-− 1)2≥ 0 y(y− 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y013+−−+$

Получаем

⌊ |y < 0 ⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log3x < 0 0< x< 1 |⌈log3x = 1 ⇔ |⌈ x= 3 log3x > 3 x> 27

Тогда окончательно получаем

x∈ (0;1)∪ {3}∪(27;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{3}∪ (27;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#65020Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (32x) log(x)− 5 log (x16)+ 18 log-2(x)−-5 +-lo2g-(32x)-≥ -lo2g2(x)−-25-. 2 2 2

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log2x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$y-+5 y−-5 16y-+18- y − 5 + y+ 5 ≥ y2− 25 y2+ 10y +25 +y2− 10y+ 25− 16y− 18 ----------(y+-5)(y-− 5)----------≥ 0 ( ) 2-y2−-8y+-16- (y+ 5)(y − 5) ≥ 0 2 --2(y−-4)-- ≥0 (y+ 5)(y − 5)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−45+−−+ 5$

Получаем

⌊ y < −5 |⌈y = 4 y > 5

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log2x< − 5 | 0< x< -1 |⌈ log2x= 4 ⇔ |⌈ x= 16 32 log2x> 5 x> 32

Ответ:

( 1) x ∈ 0;32 ∪ {16} ∪(32;+ ∞ )

Ответ:

$( ) 0; 1 ∪ {16}∪(32;+∞ ) 32$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».