.00 №17 из ЕГЭ 2022

а)

Из условия известно, что

Аналогично,

Тогда

Рассмотрим треугольники и . В них

Тогда треугольники и подобны, при этом

Рассмотрим четырехугольник . Он описан около окружности, т.е. суммы длин его противоположных сторон равны:

Мы уже доказали, что , откуда получаем, что

Что и требовалось доказать.

б)

Обозначим . Так как , , имеем:

В пункте а) было доказано, что , откуда следует, что

Тогда, так как четырехугольник — описанный,

— касательная к окружности, вписанной в треугольник . Обозначим её точку касания с окружностью за . — касательная к окружности, вписанной в треугольник . Обозначим её точку касания за . Тогда по свойству касательных.

Также по свойству касательных и . Тогда

Известно, что , . Также , . Подставив эти значения, получим, что

Подставив такое значение в формулу , получим

Получили, что . Тогда

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника . Тогда его полупериметр равен

Найдем теперь его площадь по формуле Герона:

Из формулы площади через радиус вписанной окружности выразим радиус: