.00 №17 из ЕГЭ 2022

а) Сравним радиусы описанных окружностей треугольников и . Рассмотрим треугольник . По теореме синусов найдем радиус его описанной окружности:

По теореме синусов найдем радиус описанной окружности треугольника :

Углы и — смежные, значит,

Треугольник — равнобедренный (), значит,

Рассмотрим четырехугольник . В нем и , значит, — ромб. Тогда его противоположные стороны параллельны, то есть .

б) Пусть — середина , — середина . Точки и — центры описанных окружностей, значит, и — серединные перпендикуляры к и соответственно. Также точки и лежат на серединном перпендикуляре к , значит, .

Пусть — середина . Рассмотрим четырехугольник . В нем , так как , и , так как . Значит, — вписанный. Тогда

По условию , значит, . Опустим из точки перпендикуляр на . Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике

Найдем :

Заметим, что — прямоугольник, так как все его углы равны , тогда