.00 №18 из ЕГЭ 2023

Сделаем замену Исследуем новую переменную:

Таким образом, при и решения будут, иначе — нет.

Рассмотрим уравнение, которое мы получаем после замены:

Введем функцию и исследуем ее. Она имеет производную Точка является точкой минимума, так как при движении слева направо производная меняет свой знак в этой точке с минуса на плюс. Следовательно, график функции выглядит следующим образом (берем часть графика для ):

То есть до функция убывает, а после — возрастает. Вершину этого графика находим из равенства

Так как — просто число при каждом фиксированном то мы должны найти такие положения горизонтальной прямой при которых имеется хотя бы одна точка пересечения с графиком функции Значит, прямая должна находиться не ниже ординаты вершины графика и не выше граничной точки

Следовательно, уравнение имеет решения (сразу учитывая, что если

Отсюда получаем ответ