.00 №18 из ЕГЭ 2023

Система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

п. (2)

Прямая проходит через точку

п. (3)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них меньше (а второй ).

1.

Пусть первое уравнение имеет единственный корень, меньший Это задается следующими условиями:

2.

Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один меньше Это задается следующей картинкой для параболы

Это задается следующими условиями:

Следовательно, ответ