Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.17 Вписанные и описанные тела

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#40604Максимум баллов за задание: 1

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как шар вписан в цилиндр, то радиус шара равен радиусу цилиндра, а высота цилиндра равна двум радиусам шара.

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

S = 4πr2,

где $r$ — радиус шара.

Тогда площадь поверхности шара равна

Sшара = 4πR2

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

S = 2Sосн.+ Sбок. = 2πr2+ 2πrh,

где $Sосн.$ — площадь основания, $Sбок.$ — площадь боковой поверхности, $r$ — радиус цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

Тогда площадь полной повехрности цилиндра равна

Sцил. = 2πR2 +2πR ⋅2R = 2πR2 + 4πR2 = 6πR2

Найдем отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности шара:

Sшара.= 4πR2-= 2 ⇒ S = 2S = 2 ⋅6= 4 Sцил. 6πR2 3 шара 3 цил. 3

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#75977Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр, объём которого равен 15, описан около шара. Найдите объём шара.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

$PIC$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

2 3 Vц = Sосн ⋅2R = πR ⋅2R = 2πR .

Объём шара

4 3 V ш = 3πR .

Отношение объема цилиндра к объему шара равно:

Vц- 2πR3- 3 Vш = 4 3 = 2 3πR

Таким образом, объем шара равен:

2 Vш = -⋅15 = 10. 3

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75979Максимум баллов за задание: 1

Шар, площадь поверхности которого равна $28π$ , вписан в куб. Найдите площадь поверхности куба.

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

ребро куба $a = 2R,$ площадь поверхности куба

Sкуба = 6a2 = 6(2R)2 = 6 ⋅4R2 = 24R2.

Площадь поверхности шара

Sш ара = 4πR2 = 28π,

R2 = 7,

Sкуба = 24⋅7 = 168.

Ответ: 168

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#76260Максимум баллов за задание: 1

Фуллер Маккалистер мастерит полусферическую статуэтку для подарка. В эту статуэтку, наполненную любимой газировкой Фуллера, он погрузил правильную треугольную пирамидку так, что она оказалась вписанной в полусферическую статуэтку. Найдите объем вытесненной газировки, если сторона основания пирамидки равна 6 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Показать ответ и решение

Впишем правильную пирамиду $SABC$ в полусферу, как показано на рисунке:

$SABCH$

Здесь $H$ — центр основания полусферы, $SH$ — высота пирамиды $SABC.$ При этом $△ABC$ — правильный со стороной 6. Тогда $AH = BH = CH = SH = R$ — радиус полусферы. По теореме синусов он равен

R = --AB--∘ = A√B 2sin 60 3

Тогда объем вытесненной жидкости равен объему пирамиды $SABC :$

√- V = 1SH ⋅S△ABC = 1 ⋅ A√B-⋅ AB2-3 = AB3-= 18 3 3 3 4 12

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#89264Максимум баллов за задание: 1

Шар вписан в куб, площадь грани которого равна $3-. π$ Найдите площадь поверхности шара.

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — ребро куба. Тогда

2 3- a = π

Так как шар вписан в куб, то $2R = a,$ где $R$ — радиус шара.

Тогда площадь поверхности шара равна

4πR2 = π⋅(2R)2 = πa2 = π⋅ 3= 3 π

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#137525Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $√ - 5 2.$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$HAORR$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

Sбокц. =2πRh,

где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Площадь же боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

Sбокк. = πRl,

где $R$ — радиус основания, $l$ — образующая конуса.

В данной нам задаче $h = R.$ Выразим теперь $l$ через $R.$ На картинке это образующая $OA,$ которую можно вычислить по теореме Пифагора для треугольника $AOH :$

∘ ---------- ∘ ------- √ - OA = OH2 + HA2 = R2 +R2 = R 2.

Получим, что площадь боковой поверхности цилиндра равна

Sбок ц. = 2πRh = 2πR2,

а площадь боковой поверхности конуса равна

√ - Sбок к. = πRl = 2πR2,

то есть площадь боковой поверхности конуса в $√- 2$ раз меньше, чем площадь боковой поверхности цилиндра, то есть равна

√- 5√-2-= 5. 2

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#137527Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 6. Найдите объём конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vк = 1 Vц = 6 =2 3 3

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137526Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 6. Найдите объём конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vк = 1 Vц = 6 =2 3 3

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#137528Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vк = 1Vц = 30 =10 3 3

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137529Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vк = 1Vц = 18-= 6 3 3

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#137530Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vц = 3Vк = 3 ⋅6 = 18

Ответ: 18

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#137531Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$hS$

Объём конуса равен

1 Vк = 3Sh

Здесь $S$ — площадь основания конуса, $h$ — его высота.

Объём цилиндра равен

Vц = Sh

Здесь $S$ — площадь основания цилиндра, $h$ — его высота.

По условию конус и цилиндр имеют общие основание и высоту, тогда

Vц = 3Vк = 3 ⋅9 = 27

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#137532Максимум баллов за задание: 1

Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

$RRRRR$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

2 3 Vц = Sосн ⋅2R = πR ⋅2R = 2πR .

Объём шара

4 Vш = 3πR3.

Отношение объема цилиндра к объему шара равно:

Vц- 2πR3- 3 Vш = 4πR3 = 2 3

Таким образом, объем цилиндра равен:

3 3 Vц = 2Vш = 2 ⋅18 =27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#137533Максимум баллов за задание: 1

Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

$RRRRR$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

2 3 Vц = Sосн ⋅2R = πR ⋅2R = 2πR .

Объём шара

4 Vш = 3πR3.

Отношение объема цилиндра к объему шара равно:

Vц- 2πR3- 3 Vш = 4πR3 = 2 3

Таким образом, объем цилиндра равен:

3 3 Vц = 2Vш = 2 ⋅24 =36.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#137534Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

$RRRRR$

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

2 3 Vц = Sосн ⋅2R = πR ⋅2R = 2πR .

Объём шара

4 Vш = 3πR3.

Отношение объема цилиндра к объему шара равно:

Vц- 2πR3- 3 Vш = 4πR3 = 2 3

Таким образом, объем шара равен:

2 2 Vш = 3 Vц = 3 ⋅18 =12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#83432Максимум баллов за задание: 1

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус цилиндра равен $R,$ высота цилиндра равна $2R.$

$RRRRR$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле

S = 4πr2,

где $r$ — радиус шара.

Тогда площадь поверхности шара равна

Sшара = 4πR2

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

S = 2Sосн.+ Sбок. = 2πr2+ 2πrh,

Тогда площадь полной поверхности цилиндра равна

Sцил. = 2πR2 +2πR ⋅2R = 2πR2 + 4πR2 = 6πR2

Найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности цилиндра:

Sшара= 4πR2-= 2 ⇒ Sшара = 2Sцил. = 2 ⋅30 = 20 Sцил. 6πR2 3 3 3

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#137535Максимум баллов за задание: 1

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как конус вписан в шар, то высота конуса равна радиусу шара.

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус и высота конуса равны $R.$

$RR$

Объём конуса составляет одну треть от произведения площади его основания на высоту:

1 1 2 1 3 Vк = 3 Sосн⋅R = 3πR ⋅R = 3πR .

Объём шара

Vш = 4πR3. 3

Отношение объема конуса к объему шара равно:

1πR3 Vк= 3----= 1 Vш 4πR3 4 3

Таким образом, объем конуса равен:

1 1 Vк = 4Vш = 4 ⋅60 =15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#90842Максимум баллов за задание: 1

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Так как конус вписан в шар, то высота конуса равна радиусу шара.

Пусть радиус шара равен $R.$ Тогда радиус и высота конуса равны $R.$

$RR$

Объём конуса составляет одну треть от произведения площади его основания на высоту:

1 1 2 1 3 Vк = 3 Sосн⋅R = 3πR ⋅R = 3πR .

Объём шара

Vш = 4πR3. 3

Отношение объема шара к объему конуса равно:

4πR3 Vш-= 3----= 4 Vк 1πR3 3

Таким образом, объем шара равен:

V = 4V = 4⋅12= 48. ш к

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#137536Максимум баллов за задание: 1

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$222a$

Для цилиндра, вписанного в параллелепипед, основание параллелепипеда представляет собой квадрат, в который вписана окружность основания цилиндра. Следовательно, сторона квадрата $a$ равна диаметру окружности:

a = 2⋅2= 4

Высота параллелепипеда совпадает с высотой цилиндра и равна 2. Объем параллелепипеда вычисляется как произведение площади основани на высоту:

2 2 V = S ⋅2= a ⋅2= 4 ⋅2= 32

Таким образом, объем параллелепипеда равна 32.

Ответ: 32