Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91288Максимум баллов за задание: 4

Из 24 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 47 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — пятое по величине среди этих чисел, а $B$ — их среднее арифметическое.

a) Может ли $B − A$ равняться $29?$

б) Может ли $B − A$ равняться $5 9?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $B− A.$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

а) Пусть выбрали числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19. Тогда $A = 9$ и

1-+3-+5-+-7+-9+-11-+-13-+15-+19 83 B = 9 = 9

Значит,

B − A = 83 − 9 = 83−-81= 2 9 9 9

б) Пусть $C$ — сумма первых четырех по величине выбранных чисел, а $D$ — сумма последних четырех. Тогда

C +A + D B = ----9----

Значит,

B − A = C-+-A-+D-−-9A = C-+D-−-8A 9 9

Заметим, что $C + D$ — сумма восьми нечетных чисел, поэтому число $C + D$ — четно. Значит, число $C + D − 8A$ тоже четно. Поэтому $C + D − 8A⁄= 5.$

в) Оценим число $C.$ Если $A$ — пятое по величине число, то первые четыре числа не более $A− 8,$ $A − 6,$ $A − 4$ и $A− 2.$ Тогда

C ≤ (A− 8)+ (A − 6)+ (A − 4)+(A − 2)= 4A − 20.

Значит,

C − 8A ≤ 4A − 20 − 8A = −20− 4A

При этом $A ≥ 9,$ то есть $− A ≤ −9.$ Следовательно,

C − 8A≤ − 20− 4A ≤ −20 +4 ⋅(− 9) = −20− 36= −56

Оценим число $D.$ Заметим, что

D ≤ 41+ 43+ 45+ 47 = 176

Тогда

C +D − 8A ≤ −56+ 176= 120

Таким образом,

B− A = C-+-D-− 8A-≤ 120 = 40 9 9 3

Это значение достигается, если выбрали числа 1, 3, 5, 7, 9, 41, 43, 45, 47:

1+ 3 +5 +7 +9 +41 +43+ 45+ 47− 81 40 B − A =----------------9---------------- = 3-

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) $40 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#91289Максимум баллов за задание: 4

На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Пусть исходные $n$ чисел равны $---- a1b1,$ $---- a2b2,$ …, $---- anbn.$ Тогда их сумму можно вычислить так:

S1 = (10a1 +b1)+ (10a2+ b2)+...+ (10an+ bn)= = 10(a + a + ...+ a )+ (b + b + ...+ b )= 2376 1 2 n 1 2 n

Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна

S2 = 10(b1+ b2 +...+ bn)+ (a1+ a2+ ...+ an)

Пусть

$pict$

а) Пусть сумма после операции уменьшилась в 3 раза, тогда

$pict$

Вычтем из второго уравнения первое:

$pict$

Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть всего было 56 чисел, в них $b1 = ...= b56 = 1.$ Пусть $a1 = ...= a54 = 4,$ $a55 = a56 = 8.$ Тогда

$pict$

Таким образом,

$pict$

Итого изначально на доске написали 54 числа 41 и 2 числа 81.

б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:

$pict$

Вычтем из второго уравнения первое:

$pict$

Такая ситуация невозможна, поскольку так как $B =16$ , то чисел не более 16 и $A ≤ 16⋅9= 144< 236.$

в) Пусть

$pict$

Заметим, что каждое из написанных чисел уменьшилось не более чем в $91 19$ раза, значит,

k ≥ 19. 91

Тогда оценим $A$ сверху:

( ) A =24(10−k)≤ 24 10− 19 = 24⋅910-− 19-= 24⋅891= 21294+-90= 23490 < 235. 91 91 91 91 91

Так как $A$ — целое, то $A≤ 234.$

Заметим при этом, что

k = 240-− A-≥ 240−-234 = 1. 24 24 4

Тогда из первого уравнения системы при $k = 1 4$ получаем

( ) B = 24 10⋅ 1− 1 =60 − 24 =36 4

Приведем пример чисел, при которых сумма уменьшилась в 4 раза. Пусть изначально было 36 чисел.

$pict$

Тогда

$pict$

Значит,

$pict$

Значит, если изначально на доске было написано 27 чисел 61 и 9 чисел 81, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 2376 на 594.

Ответ:

а) Пример

б) Нет, не могла

в) 594

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91754Максимум баллов за задание: 4

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?

б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Пусть за этого футболиста проголосовало $x$ человек. Тогда известно, что

30,5≤ -x ⋅100 < 31,5 13 396,5 ≤100x< 409,5 x =4

Таким образом, после голоса Васи у футболиста будет 5 голосов из 14, то есть

5- 250- 5 14 ⋅100% = 7 %= 357%

голосов, дающих рейтинг 36.

б) Да, приведём пример. Пусть всего было 200 участников, из которых 199 проголосовали за первого футболиста и 1 проголосовал за второго футболиста. Тогда у первого футболиста процент голосов равен $199⋅100% = 99,5%, 200$ значит, рейтинг равен 100. У второго же футболиста процент голосов равен $2100 ⋅100% = 0,5%,$ а значит, рейтинг равен 1. Таким образом, их суммарный рейтинг составит

100+ 1= 101> 100.

в) Обозначим количество участников, проголосовавших за данного футболиста до голоса Васи, за $k,$ а общее количество посетителей сайта до участия Васи за $n.$ Тогда известно, что

$pict$

Заметим, что

100k < 7,5n < 8,5n+ 8,5< 100k + 100

Тогда имеем:

100k+ 100− 100k > 8,5n +8,5− 7,5n 100> 8,5 +n 91,5> n.

Это означает, что

100k <7,5n< 7,5 ⋅91,5= 686,25

Следовательно, $k ≤ 6.$ Подставим это во второе неравенство системы:

8,5n+ 8,5 ≤ 100k +100≤ 100⋅6+ 100= 700 n≤ 691,5:8,5< 82

Таким образом, получаем, что наибольшее число отданных голосов, включая Васин, не больше $n+ 1 ≤82.$

Приведём пример на 82 голоса. Пусть изначально за футболиста проголосовало 6 посетителей сайта из 81 общего голоса, а потом за него же проголосовал Вася.

Тогда у данного футболиста был процент голосов, равный

6 200 11 81 ⋅100% = 27 % = 727% < 7,5%

При этом процент голосов стал равен

7-⋅100% = 350% = 822% > 8,5% 82 41 41

Это соответствует рейтингу 7 до голоса Васи и рейтингу 9 после его голоса.

Ответ:

а) 36

б) Да, может

в) 82

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91755Максимум баллов за задание: 4

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a;b)$ получается пара $(3a+ b;3b+ a).$

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5;− 1)?$

б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(c− d;d− c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $(a;b)$ и $(c;d)$ выражением $∘ (a−-c)2+-(b−-d)2.$ Найдите наименьшее расстояние от пары $(9;1)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) По условию из пары $(a;b)$ получается пара $(3a+ b;3b+ a).$ Тогда можем записать систему уравнений:

{ { { { 3a+ b= 5 3a+ b= 5 2a= 4 a= 2 3b+ a= −1 ⇔ 4a+ 4b= 4 ⇔ a+ b= 1 ⇔ b= −1

Из пары $(2;−1)$ получится пара

(3⋅2 − 1;3⋅(−1)+ 2)= (5;− 1).

б) Да, пусть пара $(c;d)$ получается из пары $(x;y),$ то есть $3x + y = c$ и $3y+ x = d.$ Тогда из пары $(x − y;y− x)$ получится пара

(3(x − y)+(y− x);3(y − x)+ (x− y))= =(3x+ y − 3y− x;3y+ x− 3x− y)= (c− d;d − c).

в) Заметим, что сумма двух чисел в паре, полученной из пары $(a;b),$ равна

3a+ b+ 3b+ a= 4a+ 4b,

то есть делится на 4. При этом

9+ 1= 10= 4 ⋅2 + 2

Поэтому если $(c;d)$ — пара, полученная из пары $(a;b),$ то имеем:

|9 − c|+ |1 − d|≥ |9 − c+1 − d|= |(9 +1)− (c+ d)|≥ 2.

Таким образом,

(9− c)2 +(1− d)2 ≥ 12+ 12 = 2,

откуда расстояние хотя бы $√ - 2.$

Приведём пример на $√ - 2.$ Пара $(8;0)$ получается из пары $(3;− 1):$

(3⋅3− 1;3⋅(−1)+ 3)= (8;0).

При этом от пары $(9;1)$ она находится на расстоянии

∘(9−-8)2+-(1-− 0)2 = ∘12-+-12 = √2.

Ответ:

а) Да, можно

б) Да, верно

в) $√ - 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4