Тема . Классические неравенства

Неравенства Мюрхеда и Шура

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122815

Докажите для положительных $a,b,c$ неравенство

---c-- --a--- --b--- ----9---- (a+ b)2 + (b+c)2 + (a+c)2 ≥ 4(a+b+ c).

Показать доказательство

Сначала преобразуем левую часть

---c-- ---a-- ---b-- ---c3--- ---a3--- ---b3--- (a+ b)2 +(b+ c)2 + (a+ c)2 =c2(a+b)2 + a2(b+ c)2 +b2(a+c)2

Тогда имеем

3 3 3 3 -2-c--2-+-2-a---2 +-2-b--2-≥---2----2-(a-+2b+-c)2---2----2 c(a+ b) a (b+c) b(a+ c) 3(c(a+ b)+ a (b+ c)+ b (c+ a)

Заметим, что

---------(a-+b+-c)3----------= --(a-+b+-c)3--, 3(c2(a+ b)2+ a2(b+ c)2 +b2(c+ a)2 3(T2,1,1 +T2,2,0)

где $Ti,j,k$ — многочлены из обозначений неравенства Мюрхеда. Тогда достаточно показать, что

(a+b+ c)3 9 3(T2,1,1+T2,2,0)-≥ 4(a+-b+-c)-

После домножения каждой из частей неравенство на произведение соответствующих знаменателей

2T4,0,0+ 16T3,1,0+ 12T2,2,0 +24T2,1,1 = 4(a +b+ c)4 ≥ 27T2,1,1+ 27T2,2,0,

то есть

2T4,0,0+ 16T3,1,0 ≥3T2,1,1+ 15T2,2,0,

что верно по неравенству Мюрхеда.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse