Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . Классические неравенства

Неравенства Мюрхеда и Шура

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#129567

Для положительных чисел x, y, z, докажите неравенство

(x2+y2-− z2)2 (x2−-y2+-z2)2 (−x2+-y2-+z2)2- 2 2 2 xy + xz + zy ≥ (x+ y− z) +(x− y+z) + (− x+y +z) .
Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Перед нами симметрическое неравенство относительно x, y и z, являющееся однородным. К тому же, после домножения на общий знаменатель останется некоторый многочлен от x, y и z. Такие неравенства часто доказываются с помощью неравенств Мюрхеда и Шура.

Показать доказательство

Введём определение циклической суммы. Пусть есть набор чисел (a ,...,a) 1 n и функция F(x ,...,x ), 1 n тогда

∑ cycF(a1,a2,...,an)= F(a1,a2,...,an)+ F(a2,a3,...,a1)+ ...+F (an,a1,...,an−1).

После домножения на общий знаменатель мы получаем неравенство

∑ (x2+ y2 − z2)x ≥xyz∏ (x+ y− z)2 cyc cyc

или (после сокращений)

T5;0;0+ 2T4;1;0+ 4T2;2;1 ≥ 3T3;1;1+4T3;2;0 (1)

Заметим, что

T5;0;0 +T3;1;1 ≥2T4;1;0 (2)

по неравенству Шура для степени 5. Если вычесть (2) из (1), то остаётся доказать, что

T4;1;0+T2;2;1 ≥ T3;1;1+T3;2;0

Домножив это на 2(x+y +z), получим, что требуется доказать

2T5;1;0+ 2T2;2;2 ≥ 2T3;3;0 +2T3;2;1

Заметим, что

T4;0;0+ T2;1;1 ≥ 2T3;1;0

по неравенству Шура для степени 4, домножим это на (xy+yz+ xz) и получим

2T5;1;0+ T2;2;2 ≥ 2T4;2;0+T4;1;1 (3)

Заметим, что

T3;0;0+ T1;1;1 ≥ 2T2;1;0

(это просто неравенство Шура для степени 3 ), домножим это на xyz и получим

T +T ≥2T (4) 4;1;1 2;2;2 3;2;1

Сложив (3) и (4) получим, что

2T5;1;0+ 2T2;2;2 ≥ 2T4;2;0+2T3;2;1 ≥2T3;3;0+ 2T3;2;1

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!