Неравенства Мюрхеда и Шура

Обозначим через все одночлены вида Назовём набор мажорирующим для если

Покажем, что для симметричных неравенств, где набор мажорирует выполнится (Например, для и — Будем считать (иначе аналогично с и Давайте зафиксируем и уменьшим и увеличим так, чтобы стало равно Тогда заметим, что Значит, мы можем сравнять первый коэффициент у двух наборов, не увеличив разность между ними. Аналогично сравняем второй коэффициент, третий сравняется автоматически и неравенство обратится в равенство. Значит, изначальный знак был верным. Вообще, мы сейчас предоставили план доказательства неравенства Мюрхеда для трёх переменных.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь пора решить задачу. Давайте приведём неравенство к однородному. Для этого в левой части домножим на Аналогично сделаем с и Тогда получится следующее неравенство (уже однородное):

Вынесем из левой части общие множители наружу:

А теперь аккуратно раскроем скобки. Тогда в левой части получатся слагаемые а в правой части будет Ясно, что левые наборы мажорируются правыми, а суммы коэффициентов с учётом перестановок одинаковы и равны (Любой набор справа кроме мажорирует любой левый, а набор есть слева с большим коэффициентом, поэтому можно просто его вычесть). Значит, неравенство верно.