Тригонометрические неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Найдем ОДЗ выражения и поймем, что если число больше 1, то оно и в 7 степени больше 1. Значит, можем без проблем взять корень седьмой степени от левой и правой части.
Подсказка 2
Задумаемся над тем, что если число от нуля до единицы, то при возведении его в любую натуральную степень оно становится только меньше, чем было до этого. Отсюда следует, что sin(x) > sin²(x), так же и с косинусом.
Подсказка 3
Да, из корня синуса получив синус, а из синуса - квадрат синуса, сделав аналогично с косинусом, мы сделали оценку на выражение слева, и оно почти всегда больше единицы. Остается понять, в каких точках достигается равенство и их исключить :)
Функция 
монотонно возрастает, поэтому условие эквивалентно
Первое решение.
В силу области значений синуса и косинуса оба слагаемых в левой части неотрицательны, причём равны нулю тогда и только тогда,
когда синус или косинус обращаются в ноль. Остальные значения 
, при которых левая часть неравенства определена,
подходят. То есть по тригонометрической окружности нам подходит первая четверть, где значения синуса и косинуса
положительны.
Второе решение.
Будем рассматривать только ![x∈ [0,π2]](/api/latex-service/v1/GetSession/65730/index-3e27f31e1d3003ee3d5d86bdf5ee6bca.svg)
, равенство достигается на границах. Заметим, что для произвольного 
выполнено
Но тогда при 
(где синус и косинус не принимают значения 
) выполнено
То есть для всех точек, кроме граничных, неравенство выполнено.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
