Тригонометрические неравенства

Подсказка 1

Мы видим схожие по структуре аргументы в синусах. Давайте поймём, что если мы сделаем замену на t = pi/14, то у нас получится функция от t, для которой надо доказать, что она всегда больше нуля (или меньше нуля, ведь мы узнаем это только после исследования функции).

Подсказка 2

Тогда, нам нужно исследовать функцию 16sin^3(t) + 8sin^2(t) - 7sin(t) + 1. Видно, что здесь просится замена sint = z. Что тогда можно сказать про этот кубический многочлен после замены и анализа?

Подсказка 3

Верно, можно заметить, что он равен (z + 1)(4z - 1)^2. Значит, при z >= -1(а именно такой синус) наш многочлен больше или равен 0, и в точке sin(pi/14) у нас не достигается равенство(нетрудно проверить). Какой тогда ответ мы получили?

Подсказка 1

Косинусы, синусы, тангенс и еще корень, не очень приятно со всем этим работать. Давайте тангенс заменим на sin(x)/cos(x) и избавимся от корня, не забыв про ограничения.

Подсказка 2

Если не раскрывать (cos(x) - sin(x))^2, то после преобразований это выражение можно вынести за скобки и тогда в правой части неравенства останется 1. А на что похож другой множитель, получившийся после того, как вынесли (cos(x) - sin(x))^2?

Подсказка 3

Вспоминаем ОТТ и получаем, что это ctg(x)^2 , который позволит нам избавится от cos(x)^2. Осталось дело за малым, решить обычное тригонометрическое неравенство, не забывая про ограничения

Подсказка 1

Попробуйте использовать тот факт, что cosx принимает значения от -1 до 1.

Подсказка 2

Посмотрите, может ли как-то помочь в решении неравенства область допустимых значений cos(cosx)?

Подсказка 3

Сравните наименьшее значение cos(cosx) и 1/2.

Подсказка 1

Чем мы пользуемся, когда хотим доказать какое-то утверждение для произвольного n ∈ ℕ ?

Подсказка 2

Индукцией! Давайте тут её применим. Записываем базу и начинаем работать с шагом индукции. Пусть для n - 1 всё работало, рассматриваем n. И что нужно доказать, чтобы сделать вывод, что f_n(x) > 0 во всех точках х из интервала?

Подсказка 3

Нужно доказать, что минимум f_n(x) > 0! Пусть минимум достигается в точке x₀, тогда как будет вести себя функция в окрестности точки x₀? Что мы можем сказать про f'(x₀)?

Подсказка 4

Конечно, f'(x₀) = 0! Тогда можем посчитать производную в точке x₀ и постараться упростить это выражение (вспомните про телескопы!) Но попробуйте не в лоб складывать косинусы, а ещё на кое-что домножить, чтобы потом воспользоваться другой формулой

Подсказка 5

Предлагается домножить на sin(x₀/2) (≠ 0, что важно!) и ещё на 2, чтобы потом не пришлось писать 1/2, когда пользуемся формулой sinα ⋅ cosβ.

Подсказка 6

Расписываем и сокращаем, получаем короткую формулу для 2 ⋅ sin(x₀/2) ⋅ f'_n(x₀) и это равно 0 ⇒ .... (подумайте, зачем нам надо было sin(x₀/2) ≠ 0). И вот мы знаем, что для n - 1 f(x) было > 0, что тогда нам хотелось бы показать, чтобы для n f(x) тоже было > 0 ?

Подсказка 7

Хотим, чтобы слагаемое, которое добавляем к f_{n-1} для получения f_n, было ≥ 0. У нас было sin((n + 1/2)x₀) = sin(x₀/2), а чему равна разность этих аргументов?

Подсказка 8

Она равна n ⋅ x₀! Тогда мы можем расписать наш "добавочный" sin(nx₀) как синус разности аргументов! А чему это будет равно? Чтобы это понять, подумайте, как соотносятся косинусы тех аргументов, если их синусы равны

Подсказка 9

Косинусы будут равны по модулю! Тогда наш sin(nx₀) будет равен либо 0, либо 1/n ⋅ sin(x₀) > 0! Победа, мы доказали шаг индукции, а значит доказали, что f(x) > 0 для любого х!

Подсказка 1

Мы видим свободный коэффициент, равный 5. Для уравнений в тригонометрии это очень немаленький коэффициент, так как синусы-косинусы оцениваются всегда от -1 до 1. Подумайте, как это применить?

Подсказка 2

Да, можно перенести всё, что связано с тригонометрией в одну сторону, а пятерку оставить слева. Что тогда интересного вы видите?

Подсказка 3

Верно, левая часть меньше или равна 5, но у нас написано, что больше или равна. Значит, достигается равенство. Осталось решить эти простейшие тригонометрические уравнения, подумать, все ли решения подходят нам, и записать итоговый ответ!

Подсказка 1

Записав ограничение на cos2x, сразу же домножим на |cos2x| и перенесём всё в левую часть. Теперь выражение в левой части выгладит довольно знакомым. Что же это?

Подсказка 2

Верно! Это же полный квадрат. А значит, мы получаем, что (|sinx|-|cos2x|)² <= 0. Тогда во что переходит наше неравенство?

Подсказка 3

Да, точно! В равенство. Теперь мы имеем уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. А его мы уже с лёгкостью можем решить, перезаписав в виде f(x) = ±g(x).

Подсказка 1

Хотелось бы найти подходящее n из промежутка (0°,45°). Как это сделать? На самом деле, некоторым подбором… Сначала можно определить n с точностью в +-5 градусов, взять середину отрезка и так далее. Для каждого рассматривамого n пытаемся тангенс сравнить с 1/2.

Подсказка 2

В процессе, конечно же, хочется от тангенса переходить с синусу или косинусу, потому что они устроены более понятным для нас образом, для них неравенства легче применять. Для этого можно возводить наши неравенства в квадрат и квадрат косинуса выражать через квадрат синуса, например. Также полезно будет использовать формулы косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Когда мы наконец справились и подобрали такое n, осталось найти сумму всех n+180k из указанного в условии задачи диапазона. Здесь можно воспользоваться тем, что эти числа образуют арифметическую прогрессию!

Подсказка 1

Обратите внимание, правая и левая часть неравенства очень похожи, но всё-таки не до конца. Давайте перенесем всё с синусами в одну сторону, а с косинусами - в другую. Что можно заметить и как можно иначе переписать данное неравенство?

Подсказка 2

На самом деле в правой и левой части у нас одна и та же функция f(t) = t^2018 - 1/t^2019, а наше неравенство можно переписать как f(sinx) ≥ f(cosx). Что мы можем сказать про f(t) на промежутке от -1 до 1, если возьмем производную?

Подсказка 3

Если взять производную, то станет понятно, что f(t) - возрастающая с точкой разрыва в 0. Рассмотрите два случая, когда t ∈ [-1; 0) и t ∈ (0; 1]. Подумайте, что можно сказать про значения функции на данных промежутках.

Подсказка 4

Мы можем утверждать, что f(t) на положительных значениях всегда будет меньше, чем при отрицательных. Значит наше неравенство можно переписать в виде совокупности двух других: 1) При sinx > 0, sinx >= cosx 2) При sinx < 0, cosx>0.

Подсказка 1

Найдем ОДЗ выражения и поймем, что если число больше 1, то оно и в 7 степени больше 1. Значит, можем без проблем взять корень седьмой степени от левой и правой части.

Подсказка 2

Задумаемся над тем, что если число от нуля до единицы, то при возведении его в любую натуральную степень оно становится только меньше, чем было до этого. Отсюда следует, что sin(x) > sin²(x), так же и с косинусом.

Подсказка 3

Да, из корня синуса получив синус, а из синуса - квадрат синуса, сделав аналогично с косинусом, мы сделали оценку на выражение слева, и оно почти всегда больше единицы. Остается понять, в каких точках достигается равенство и их исключить :)

Подсказка 1

Давайте обратим свое внимание на то, что 3sin(x) ≥ какой-то положительной величины. Значит, мы можем сделать вывод о том, что sin(x) > 0. Обратите внимание на коэффициенты и подумайте, что хочется сделать с неравенством.

Подсказка 2

Давайте разделим правую и левую часть неравенства на 3sin(x). Тогда получим |2/3+ctg(x)|+|1/3-ctg(x)| ≤ 1. Воспользуйтесь модулями по определению. Какие значения может принимать котангенс в таком случае?

Подсказка 3

Рассмотрим модули как расстояния от ctg(x) до -2/3 и до 1/3. Сумма таких расстояний может быть <=1 только, если котангенс принимает значение из промежутка [-2/3; 1/3]. Осталось только найти какую часть тригонометрической окружности занимает котангенс с такими значениями(не забудьте про условие, что sin(x) ≥ 0)