.00 №14 из ЕГЭ 2019

а) Пусть плоскость пересекает ребро в точке По условию значит, она пересекает грань по прямой, параллельной следовательно, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках точка делит ребро в отношении

 

 

б) Пусть плоскость пересекает ребро в точке Аналогично предыдущему пункту получим, что Тогда значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках,

Пусть — середина стороны Тогда — высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника Пусть — точка пересечения и По теореме о пропорциональных отрезках

Пусть — точка пересечения и плоскости Так как то плоскость пересекает плоскость по прямой, параллельной то есть Тогда

Заметим, что так как прямая то искомое расстояние от прямой до прямой равно расстоянию между параллельными прямыми и

 

 

Рассмотрим треугольник пусть — его высота. Тогда прямая делящая стороны и в отношении считая от вершины делит высоту в том же отношении. Значит, расстояние между прямыми и равно

Найдем длины сторон треугольника По условию Отрезок — высота равностороннего треугольника со стороной 9, значит, Отрезок — медиана равнобедренного треугольника значит, и высота. По теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставив значения сторон, найдем

 

 

Рассмотрим треугольник В нем поэтому

Следовательно,

Тогда расстояние между прямыми и равно