.00 №14 из ЕГЭ 2019

а) По условию значит, по теореме о пропорциональных отрезках прямые и параллельны. Поскольку прямая параллельна лежащей в плоскости сечения прямой она параллельна и самой плоскости сечения по признаку параллельности прямой и плоскости.

б) Пусть — середина Проведём и и пусть плоскость пересекает по прямой Тогда и параллельны, а расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до плоскости

Пусть — высота треугольника тогда отрезок перпендикулярен ребру В силу параллельности и отрезки и также перпендикулярны.

Кроме того, ребро перпендикулярно плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, а потому и перпендикулярно Но параллельно поэтому и перпендикулярны.

Тем самым прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и лежащим в плоскости сечения, а значит, и всей плоскости сечения. Пусть пересекает в точке Тогда — искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник Найдем длины его сторон. По условию Отрезок — высота равностороннего треугольника со стороной 6, значит, Отрезок — высота равнобедренного треугольника По теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставив значения сторон, найдем

Рассмотрим треугольник В нем поэтому

Следовательно,

Заметим, что в треугольнике прямые и параллельны и значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, следовательно,

Тогда расстояние от точки до плоскости равно