.00 №14 из ЕГЭ 2019
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 5. На рёбрах 
и
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и
параллельна 
a) Докажите, что сечение пирамиды 
плоскостью 
— прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка 
а основанием — сечение пирамиды 
плоскостью
Источники:
а) Пусть плоскость 
пересекает ребра 
и 
в точках 
и 
соответственно, а точка 
— середина ребра
. Тогда 
— медиана и высота в равнобедренном треугольнике 
, 
— медиана и высота в
равностороннем треугольнике 
. Значит, 
и 
, следовательно, 
.
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, значит, 
.
Плоскость 
, параллельная прямой 
, пересекает плоскости 
и 
по прямым 
и 
,
значит, 
и 
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
Значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, прямые 
и 
параллельны прямой
. Таким образом, 
является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны
перпендикулярным прямым 
и 
соответственно, то есть 
— прямоугольник.
б) Прямая 
, параллельная прямой 
, перпендикулярна плоскости 
, значит, плоскости 
и 
перпендикулярны.
Пусть плоскость 
пересекает прямые 
и 
в точках 
и 
соответственно. Тогда высота
пирамиды 
равна расстоянию 
между точкой 
и прямой 
.
Пусть 
— высота правильной пирамиды 
, тогда 
лежит в плоскости 
и 
.
— медиана равностороннего треугольника 
со стороной 6, значит,
Найдем косинус и синус угла 
:
Пусть 
— перпендикуляр, опущенный из точки 
на прямую 
. Тогда
— катет прямоугольного треугольника 
. Гипотенуза 
треугольника 
равна
, 
) точка 
делит 
в отношении
.
Тогда можем найти 
:
Найдем 
. Так как в треугольнике 
,
Найдем 
. Так как в треугольнике 
,
Найдем объем пирамиды 
:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
