.00 №14 из ЕГЭ 2019
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 4, а боковое ребро 
На рёбрах 
и
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую 
и
параллельна прямой 
a) Докажите, что плоскость 
делит ребро 
в отношении 
считая от вершины 
б) Найдите расстояние между прямыми 
и 
Источники:
а) Пусть плоскость 
пересекает ребра 
и 
в точках 
и 
соответственно. По условию 
значит, она
пересекает плоскость 
содержащую прямую 
по прямой, параллельной 
то есть 
Тогда 
—
прямоугольник, следовательно, 
Четырехугольник 
— квадрат, то есть 
значит, 
следовательно, 
и
б) По теореме о пропорциональных отрезках 
так как 
По предыдущему пункту
Тогда плоскости 
и 
параллельны, так как образованы двумя парами параллельных прямых.
Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми 
и 
равно расстоянию между параллельными
плоскостями 
и 
содержащими их.
Пусть точки 
и 
— середины 
и 
соответственно. Рассмотрим треугольник 
пусть 
— его
высота.
Заметим, что 
— высота и медиана равнобедренного треугольника 
значит, 
Так как 
— средняя
линия квадрата 
то 
Тогда 
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, следовательно, 
По
построению 
значит, 
Так как 
то 
Пусть плоскость 
пересекает 
в точке 
, тогда расстояние между 
и 
равно длине отрезка
Пусть 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и 
Аналогично предыдущему пункту можем получить, что 
По условию 
значит, она пересекает плоскость 
содержащую прямую 
по прямой, параллельной 
то есть 
Рассмотрим треугольник 
В нем 
и 
значит, по теореме о пропорциональных отрезках
Рассмотрим треугольник 
В нем 
значит, по обратной теореме о пропорциональных
отрезках 
Тогда рассмотрим треугольник 
и аналогично получим, что 
следовательно,
Найдем 
Отрезок 
— высота треугольника 
Найдем стороны треугольника 
Имеем
Отрезки 
и 
— высоты равных равнобедренных треугольников 
и 
Тогда по теореме
Пифагора
Пусть 
тогда 
По теореме Пифагора для треугольников 
и 
Тогда имеем уравнение:
Найдем отрезки 
и 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
