.00 №14 из ЕГЭ 2019
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме 
сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка 
— середина
ребра 
а точка 
— точка пересечения диагоналей боковой грани 
a) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы 
плоскостью
лежит на отрезке 
б) Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
Источники:
а) Плоскость 
параллельна прямой 
значит, плоскость 
пересекает 
по прямой, параллельной
Пусть 
пересекает ребро 
в точке 
тогда 
а значит, 
Таким образом, 
—
средняя линия треугольника 
Рассмотрим сечение 
Это трапеция, так как 
Также 
Тогда, если 
—
точка пересечения диагоналей трапеции 
треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 2.
Пусть точки 
и 
— середины 
и 
соответственно. 
— точка пересечения 
и 
Тогда 
—
середина 
значит, 
— отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Тогда точка пересечения диагоналей 
лежит на нем, значит, 
Рассмотрим треугольник 
в плоскости 
Заметим, что 
и 
— медианы этого треугольника. Пусть 
— точка их пересечения. Тогда 
Мы получили, что точки 
и 
делят отрезок 
в отношении 
значит, они совпадают, то есть точка 
лежит на
б) Плоскость сечения образована параллельными прямыми 
и 
так как 
и 
Тогда 
Значит, углов между прямой 
и плоскость. 
равен углу между прямыми 
и 
то
есть углу 
Найдем стороны треугольника 
Так как 
— медиана равностороннего треугольника 
— медиана треугольника 
значит, 
По теореме Пифагора для треугольника 
— медиана треугольника 
, значит, 
. По теореме Пифагора для треугольника 
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Подставив найденные значения, получаем:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
