.00 №14 из ЕГЭ 2018

а) Отрезки и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм и Тогда угол между пересекающимися прямыми и — это и есть угол между скрещивающимися прямыми и

Рассмотрим треугольник Все его стороны являются диагоналями равных квадратов — граней куба. Следовательно, треугольник — равносторонний и искомый угол равен

б) Так как прямые и скрещиваются, то для нахождения расстояния между ними построим через каждую из прямых плоскость, параллельную другой прямой. Тогда расстояние между двумя полученными параллельными плоскостями равно расстоянию между прямыми.

Мы уже доказали, что следовательно, плоскость содержит и параллельна По аналогичным соображениям плоскость параллельна прямой и плоскости

Пусть — точка пересечения прямой с плоскостью а — точка пересечения прямой с плоскостью Тогда если прямая перпендикулярна паре параллельных плоскостей, то длина отрезка равна расстоянию между плоскостями и искомому расстоянию между прямыми.

Докажем, что и найдем длину

Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то прямая перпендикулярна проекции наклонной откуда по теореме о трех перпендикулярах имеем Пусть — точка пересечения и Несложно видеть, что точка пересечения прямой и плоскости также является точкой пересечения прямых и в плоскости

Диагональ квадрата со стороной 6 равна тогда Также по теореме Пифагора для треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Оба угла острые, значит, равенство тангенсов влечет равенство самих углов.

Рассмотрим треугольники и У них — общий, следовательно,

В итоге прямая перпендикулярна прямым и а значит, перпендикулярна плоскости Найдем длину как высоту в прямоугольном треугольнике

Из соображений симметрии плоскость отсекает от диагонали куба отрезок равный Общая длина диагонали равна значит, оставшаяся средняя часть диагонали равна

Как было доказано, длина этого отрезка равна искомому расстоянию между прямыми и