.00 №14 из ЕГЭ 2018
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре 
точка 
— центр грани 
а точка 
— середина ребра 
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми 
и 
Источники:
а) Проведем медианы 
и 
в треугольниках 
и 
соответственно. Тетраэдр правильный, следовательно, его
грани — равносторонние треугольники и медианы будут также являться высотами, то есть 
и 
Тогда прямая 
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости 
Значит, прямая 
перпендикулярна плоскости 
и перпендикулярна любой прямой плоскости 
в частности, прямой 
б) Прямая 
перпендикулярна плоскости 
Опустим перпендикуляр 
на 
Тогда 
и
искомый угол между прямыми 
и 
есть угол между прямыми 
и 
то есть угол 
Обозначим ребро тетраэдра через 
Тогда высота равностороннего треугольника его грани равна 
Посмотрим на медиану 
треугольника 
Точка 
— центр треугольника, а значит, и точка пересечения медиан.
Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 
считая от вершины, следовательно,
Точка 
— середина 
точка 
— проекция точки 
на плоскость 
Следовательно, проекция точки
на плоскость 
— точка 
— будет являться серединой 
Таким образом, 
и
По теореме Пифагора дла треугольника 
Отрезок 
как высота в треугольнике 
Тогда из прямоугольного треугольника 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
