.00 №14 из ЕГЭ 2017
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребрах 
и 
треугольной пирамиды 
отмечены точки 
и 
соответственно, причем 
Точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
а) Докажите, что точки 
и 
лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды 
Источники:
а) Докажем, что 
(отсюда будет следовать, что прямые 
и 
лежат в одной плоскости).
Так как 
по условию, то по теореме, обратной
теореме Фалеса, 
Так как 
— середины 
и 
то 
— средняя линия,
следовательно, 
Следовательно, 
Что и требовалось
доказать.
б) Отметим 
— середину 
Рассмотрим пирамиду 
Заметим, что
так как 
а также так как 
(две пересекающиеся
прямые 
и 
одной плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым 
и 
другой плоскости, то такие плоскости
параллельны), то высота 
пирамиды 
относится к высоте 
пирамиды 
как 
(пусть 
).
Заметим также, что 
с коэффициентом 2 (так как 
в два раза меньше 
соответственно как средние линии в
).
Следовательно, 
Таким образом,
Значит,
Заметим, что 
— усеченная пирамида, основания которой —
подобные треугольники 
и 
(
а 
следовательно, 
). Так как 
и 
то 
Следовательно, 
Заметим, что высота
усеченной пирамиды 
равна 
Продлим 
до пересечения в точке 
Аналогично как с пирамидами 
и 
высота пирамиды 
относится к высоте пирамиды 
как 
Найдем отношение
Из подобия 
Значит, пусть высота 
равна 
тогда высота 
равна 
(отсюда следует, что 
— высота усеченной пирамиды 
то есть
).
Следовательно,
Значит,
Также
Следовательно,
Следовательно, объем всего многогранника 
отсекаемого от
пирамиды синей плоскостью, равен
Тогда объем пирамиды 
делится в отношении, равном
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
