.00 №14 из ЕГЭ 2017
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ребро куба 
равно 6. Точки 
и 
— центры граней 
и 
соответственно.
а) Докажите, что 
— правильная пирамида.
б) Найдите объём 
Источники:
a) Рассмотрим правильный тетраэдр 
В нём отрезки 
и 
— медианы боковых граней 
и 
— равных равносторонних треугольников. Следовательно, 
то есть боковые ребра
пирамиды 
paвны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит треугольник 
образованный тремя равными
средними линиями равностороннего треугольника 
Значит, основанием пирамиды 
является равносторонний
треугольник, следовательно, пирамида правильная.
б) Найдём объём тетраэдра 
Рассмотрим плоскость 
Прямая 
перпендикулярна плоскости
следовательно, перпендикулярна и прямой 
этой плоскости. Аналогично, 
Значит, диагональ
перпендикулярна плоскости треугольника 
Пусть 
— точка пересечения диагонали 
и плоскости 
Значит, 
— высота тетраэдра 
Теперь найдём 
Для этого рассмотрим плоскость 
Заметим, что точка 
лежит в этой
плоскости. Тогда в плоскости 
провёдем прямые 
и 
Пусть они пересекаются в точке 
Рассмотрим треугольник 
В нём 
так как 
Точка 
— центр грани 
значит,
Следовательно, 
— средняя линия 
Значит, 
и 
— медианы 
которые пересекаются в
точке 
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 
считая от вершины. Значит,
Диагонали граней куба равны
А главная диагональ равна
Теперь мы можем найти объём тетраэдра 
Так как треугольник 
образован средними линиями треугольника 
и площадь 
в четыре раза меньше
площади 
а 
— общая высота пирамиды 
и тетраэдра 
имеем:
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
