.00 №14 из ЕГЭ 2016
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме 
сторона основания 
равна 12, а боковое ребро 
равно 6. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
Точки 
— середины ребер 
и 
соответственно. Плоскость 
параллельна
прямой 
и содержит точки 
и 
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка 
а основание — сечение данной призмы плоскостью
Источники:
а)
Построим сечение пирамиды плоскостью 
Т.к. плоскость 
параллельна прямой 
, то она будет пересекать основания
призмы по прямым, параллельным прямой 
. Следовательно, прямая пересечения плоскости 
с плоскостью 
– прямая
, прямая пересечения плоскости 
с плоскостью 
– прямая 
. Таким образом, сечение призмы
плоскостью 
– равнобокая трапеция 
.
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым из
этой плоскости.
Проведем 
по теореме о трех перпендикулярах 
(наклонная) 
, т.к. 
(проекция) 
.
пересекает плоскость 
на прямой 
, где 
– середины 
и 
соответственно. Докажем, что 
.
Для этого покажем, что 
.
Рассмотрим сечение 
. 
– высота правильного треугольника 
со стороной 12, следовательно,
– высота правильного треугольника 
со стороной 2, следовательно,
.
Таким образом, 
.
Следовательно, 
подобен 
по двум углам 
.
Таким образом, 
и 
.
б) Найдем 
– высоту пирамиды 
.
Так как 
, то 
Аналогично, 
.
Найдем высоту 
трапеции 
.
Из прямоугольного 
по теореме Пифагора 
Кроме того, 
. Значит:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
