Тема Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

№14 из ЕГЭ 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#401Максимум баллов за задание: 3

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2√3,$ а высота $SO$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ — середины ребер $CD$ и $AB$ соответственно. Отрезок $NK$ — высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD.$

а) Докажите, что точка $K$ является серединой отрезка $SM.$

б) Найдите расстояние между прямыми $NK$ и $SC.$

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

а) Так как пирамида правильная, то $SM ⊥ CD$ и $NM ⊥ CD,$ следовательно, перпендикуляр из точки $N$ на плоскость $(SCD )$ упадет на прямую $SM.$ Таким образом, точка $K$ лежит на прямой $SM.$

По теореме Пифагора $SM = SN = 2√3,$ следовательно $△ SMN$ — правильный. Тогда, так как $NK$ является его высотой, то $NK$ также является медианой, следовательно, $K$ — середина $SM.$

$PIC$

б) Прямые $NK$ и $SC$ скрещиваются, следовательно, расстояние между ними — это длина их общего перпендикуляра.

Проведем $KL ⊥ SC.$ Тогда $KL$ — искомое расстояние между $NK$ и $SC,$ так как $NK ⊥ (SCD ),$ а значит $NK ⊥ KL.$

Рассмотрим $△ SCD.$ По теореме Пифагора $SC = √15.$

Запишем отношение подобия треугольников $SKL$ и $SMC :$

√-- KL--= SK- ⇒ KL = -15- MC SC 5

Ответ:

б) $√15 -5--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#402Максимум баллов за задание: 3

В правильной четырехугольной призме $ABCDA1B1C1D1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA1$ равно $3√2.$ На ребрах $BC$ и $C1D1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причем $BK = 4,$ $C1L = 5.$ Плоскость $α$ параллельна прямой $BD$ и содержит прямую $KL.$

а) Докажите, что прямая $AC1$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите расстояние от точки $B1$ до плоскости $α.$

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

а) Построим сечение призмы плоскостью $α.$ Так как $α∥ BD,$ то $α$ пересечет плоскости $(ABC )$ и $(A1B1C1)$ по прямым, параллельным прямой $BD.$ Если линия пересечения $α$ и $(ABC )$ не параллельна $BD,$ то прямая $BD$ будет пересекать $α,$ следовательно, не может быть ей параллельна.

$PIC$

Проведем $KN ∥BD$ и $ML ∥ B1D1.$ Таким образом, $MLNK$ — сечение призмы плоскостью $α.$

По теореме о трех перпендикулярах $AC1 ⊥ KN$ как наклонная, так как $CC1 ⊥ (ABC ),$ $AC ⊥ BD,$ $BD ∥ KN.$

Рассмотрим сечение призмы плоскостью $ACC1A1$ $((ACC1 )∩ α= T R).$ Докажем, что $AC1 ⊥T R.$ Отсюда будет следовать, что $AC1 ⊥ α.$

$PIC$

Таким образом, нужно доказать, что треугольник $T OC1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора

√ - √ -- AC = 6 2, AC1 = 3 10

Из подобия треугольников $LC1T$ и $D1C1Z$

√- C1T- = C1L--= 5 ⇔ C1T = 5C1Z-= 5-2- C1Z C1D1 6 6 2

Аналогично $RC = √2.$ Тогда по теореме Пифагора

∘ ----------------- √ -- TR = (C1T − CR )2+ CC21 = 5-10 2

Далее имеем $△ AOR ∼△T OC 1$ с коэффициентом 2. Следовательно, $OC = √10, 1$ $√-- TO = -10. 2$ По обратной теореме Пифагора получаем

2 2 2 C1T = TO + OC 1

б) Так как прямая $B1D1 ∥α,$ то расстояние от любой точки прямой $B1D1$ до плоскости $α$ будет одинаковым. Следовательно,

ρ(B ,α) =ρ(Z,α) 1

Проведем $ZH ⊥ TR.$ Так как $TR ⊥ ML$ и $ZT ⊥ ML,$ то $ML ⊥ (TRZ ).$ Так как прямая $ZH$ принадлежит плоскости $(TRZ ),$ то $ZH ⊥ML.$ Тогда $ZH ⊥T R$ и $ZH ⊥ ML,$ следовательно $ZH ⊥ α.$

Найдем $ZH.$ Так как $△ ZHT ∼ △T OC1,$ то

1 √10- ZH = 5OC1 = --5-

$PIC$

Ответ:

б) $√10 -5--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1717Максимум баллов за задание: 3

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 16, а высота равна 4. На ребрах $AB,$ $CD,$ $AS$ отмечены точки $M,$ $N$ и $K$ соответственно, причем $AM =DN = 4,$ $AK = 3.$

а) Докажите, что плоскости $(MNK )$ и $(SBC )$ параллельны.

б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

а) Построим плоскость $(MNK ).$ Так как $AM = DN,$ то $MN ∥BC ∥AD.$ Так как $(SAD )∩ (ABC )= AD,$ $(MNK )∩ (ABC ) = MN$ и $MN ∥ AD,$ то линия пересечения плоскостей $(MNK )$ и $(SAD )$ тоже будет параллельна $AD.$

Значит, проведем $KT ∥AD ∥MN.$ Трапеция $MNT K$ — искомое сечение.

$PIC$

Для того, чтобы две плоскости были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы две пересекающиеся прямые из одной плоскости были параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости. Уже известно, что $MN ∥BC.$ Нужно найти еще одну пару параллельных прямых. Докажем, что $KM ∥ SB.$

Пусть $SO$ — высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора в треугольниках $ACD$ и $ASO$ имеем:

1 √ - AO = 2AC = 8 2 ⇒ AS = 12

Заметим, что

AK- 3- 1 AM-- AS = 12 = 4 = AB

Следовательно, $△ AKM ∼ △ASB,$ значит,

∠AKM =∠ASB ⇒ KM ∥SB

Таким образом, мы доказали, что плоскости $(MNK )$ и $(SBC )$ параллельны.

б) Так как плоскости $(MNK )$ и $(SBC )$ параллельны, то расстояние от любой точки одной из плоскостей до другой плоскости фиксировано. Таким образом, неважно, из какой точки плоскости $(MNK )$ опускать перпендикуляр на плоскость $(SBC ).$

Проведем через точку $O$ прямую $P R ∥AB,$ $PR ∩ M = Z.$ Опустим перпендикуляр $ZH$ из точки $Z.$ Так как $ZR ⊥ BC,$ $SR ⊥ BC,$ то точка $H$ будет лежать на прямой $SR.$

$PIC$

Рассмотрим сечение $PSR.$ Проведем $OQ ∥ZH.$ Тогда $△ OQR ∼ △ZHR,$ следовательно,

ZH = ZR- ⋅OQ = 3⋅OQ OR 2

В $△ SOR$ выразим высоту из вершину прямого угла через гипотенузу и катеты:

SO-⋅OR-- -8- OQ = SR = √5

Значит, $12 ZH = √5-.$

Ответ:

б) $12√5- -5---$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1848Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона основания $AB$ равна 12, а боковое ребро $AA1$ равно 6. На ребре $B1C1$ отмечена точка $L$ так, что $B1L = 2.$ Точки $K,$ $M$ — середины ребер $AB$ и $A1C1$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L.$

а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка $M,$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $α.$

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

а)

$PIC$

Построим сечение пирамиды плоскостью $α.$ Т.к. плоскость $α$ параллельна прямой $AC$ , то она будет пересекать основания призмы по прямым, параллельным прямой $AC$ . Следовательно, прямая пересечения плоскости $α$ с плоскостью $A1B1C1$ – прямая $LP ∥ A1C1 ∥ AC$ , прямая пересечения плоскости $α$ с плоскостью $ABC$ – прямая $KN ∥AC$ . Таким образом, сечение призмы плоскостью $α$ – равнобокая трапеция $KNLP$ .
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости.
Проведем $MH ⊥ABC ⇒$ по теореме о трех перпендикулярах $BM$ (наклонная) $⊥ KN$ , т.к. $BH$ (проекция) $⊥KN$ .

$PIC$

$BM$ пересекает плоскость $α$ на прямой $TZ$ , где $T,Z$ – середины $KN$ и $PL$ соответственно. Докажем, что $BM ⊥ TZ$ . Для этого покажем, что $∠OT B = ∠HMB$ .
Рассмотрим сечение $MHBB1$ . $BH$ – высота правильного треугольника $ABC$ со стороной 12, следовательно, $√- √ - √ - BH = 12-3-= 6 3=⇒ BT = 3 3. 2$ $B1Z$ – высота правильного треугольника $B1LP$ со стороной 2, следовательно, $2√3- √ - √- B1Z = -2--= 3=⇒ T Z′ = 2 3$ .
Таким образом, $tg ∠OTB = -√6-= √3-= BH--= tg∠HMB 2 3 MH$ .
Следовательно, $△ OTB$ подобен $△ MHB$ по двум углам $∘ =⇒ ∠TOB = ∠MHB = 90$ .
Таким образом, $BM ⊥ KN$ и $BM ⊥ OT =⇒ BM ⊥ α$ .
б) Найдем $MO$ – высоту пирамиды $MKNLP$ .
Так как $√- tg∠OT B = 3$ , то $√ - ∠OT B = 60∘ =⇒ --3= sin ∠OTB = OB- =⇒ OB = 9 2 BT 2$
Аналогично, $√3- BH 15 -2-= MB--=⇒ MB = 12 =⇒ MO = MB − OB = -2$ .
Найдем высоту $ZT$ трапеции $KNLP$ .
Из прямоугольного $△ZZ ′T$ по теореме Пифагора $∘ ---------- ZT = 62+ (2√3 )2 = 4√3-$
Кроме того, $1 1 KN = 2AC =6, LP = 6A1C1 = 2$ . Значит:

VMKNLP = MO--⋅ KN-+-LP ⋅ZT = 1⋅ 15-⋅ 6+-2 ⋅4√3-= 40√3 3 2 3 2 2

Ответ:

б) $40√3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#22059Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA1$ и $CC1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM =3,$ $CN = 1.$

а) Докажите, что плоскость $(MNB1 )$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $MNBB1.$

Источники: ЕГЭ 2016

Показать ответ и решение

а) Плоскость $MNB1$ делит призму на два многогранника — $B1A1C1NM$ и $B1MNBAC$ . В условии нас просят сравнить их объёмы. Для этого сначала вычислим объём всей призмы. Так как $ABCA1B1C1$ — правильная призма, то её объём вычисляется по формуле

2√- √- √ - VABCA1B1C1 =SABC ⋅AA1 = AB---3 ⋅AA1 = 8⋅8-3-⋅8 = 128 3 4 4

$PIC$

Тогда найдем объём многогранника $B A C NM 1 1 1$ — пирамиды с основанием $A C NM 1 1$ и вершиной $B 1$ . Пусть $B H 1 1$ — высота правильного треугольника $A1B1C1$ . Тогда, так как $ABCA1B1C1$ является правильной призмой, высота $B1H1 ⊥ (A1C1N)$ . Следовательно, объём пирамиды $B1A1C1NM$ равен

1 VB1A1C1NM = 3SA1C1NM ⋅B1H1

$B1H1$ — высота правильного треугольника $A1B1C1$ со стороной 8, значит, $√- √- B1H1 = 823-= 4 3$ . Найдем площадь основания $A1C1NM$ . Заметим, что $A1M ∥C1N$ , так как это боковые ребра правильной призмы. По условию $AM = 3$ и $CN = 1$ , тогда

A1M = AA1 − AM =8 − 3 = 5 и C1N = CC1 − CN = 8− 1= 7

значит, мы можем найти площадь трапеции $A1C1NM$ :

A1M +C1N 5 +7 SA1C1NM = -----2---- ⋅A1C1 =--2- ⋅8= 48

Тогда теперь мы можем найти объёмы многогранников $B1A1C1NM$ и $B1MNBAC$ :

VB1A1C1NM = 1SA1C1NM ⋅B1H1 = 1 ⋅48⋅4√3= 64√3 ⇒ 3 3

√ - √- √ - ⇒ VB1MNBAC =VABCA1B1C1 − VB1A1C1NM = 128 3− 64 3 =64 3

Значит, объёмы многогранников $B1A1C1NM$ и $B1MNBAC$ равны.

б) Заметим, что

VB1MNBAC = VMNBB1 + VBACNM

$PIC$

Аналогично предыдущему пункту мы можем найти объём пирамиды $BACNM$ :

1 VBACNM = 3SACNM ⋅BH

$BH$ — высота правильного треугольника $ABC$ со стороной 8, тогда $√- BH = 4 3$ . Найдем площадь основания $ACNM$ . Заметим, что $AM ∥ CN$ , так как это боковые ребра правильной призмы. По условию $AM = 3$ и $CN = 1$ , тогда площадь трапеции $ACNM$ равна

SACNM = AM--+CN--⋅AC = 3+-1 ⋅8= 16 2 2

Теперь найдём объём пирамиды $BACNM$ :

√- 1 1 √- 64-3- VBACNM = 3SACNM ⋅BH = 3 ⋅16⋅4 3 = 3

Следовательно, объём тетраэдра $MNBB1$ равен

√- 64√3- 64√3(3− 1) 128√3- VMNBB1 =VB1MNBAC − VBACNM = 64 3− --3--= -----3----= ---3-

Ответ:

б) $128√3- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22958Максимум баллов за задание: 3

Дана правильная треугольная призма $ABCA1B1C1,$ все рёбра которой равны 6. Через точки $A,$ $C1$ и середину $T$ ребра $A1B1$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $(ABC ).$

Источники: ЕГЭ 2016

Показать ответ и решение

а) Так как $ABCA1B1C1$ — правильная треугольная призма, то рёбра $AA1,$ $BB1$ и $CC1$ перпендикулярны плоскостям, в которых лежат основания $ABC$ и $A1B1C1.$ Также известно, что все ребра призмы равны, тогда грани $AA1B1B,$ $AA1C1C$ и $BB1C1C$ — квадраты со стороной 6.

Найдём длину отрезка $AT.$ Он является гипотенузой в треугольнике $ATA1,$ значит, по теореме Пифагора

( ) AT2 = A T2+ AA2 = A1B1- 2+ AA2 = 1 1 2 1 ( )2 = 6 +62 =9 +36 = 45 2

Треугольник $AC1A1$ является прямоугольным, значит, по теореме Пифагора

2 2 2 2 2 AC1 = AA1+ A1C1 = 6 + 6 = 36 +36 = 72

$PIC$

Отрезок $C1T$ является медианой и высотой правильного треугольника $A1B1C1$ со стороной 6, значит,

6√3- √ - ( √ -)2 C1T =--2-= 3 3 ⇒ C1T2 = 3 3 = 27

Заметим, что

AC21 = 72 = 45+ 27 = AT2+ C1T 2

Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, $△ AC1T$ является прямоугольным, причём $∘ ∠AT C1 = 90 .$

б) Угол между плоскостями $(AC1T )$ и $(ABC )$ равен углу между плоскостями $(AC1T )$ и $(A1B1C1 ),$ так как $(ABC )∥ (A1B1C1 ).$ Плоскости $(AC1T )$ и $(A1B1C1)$ пересекаются по прямой $C1T.$

Заметим, что прямая $C1T$ перпендикулярна $A1T$ как медиана в равностороннем треугольнике $A1B1C1.$ С другой стороны, $C T ⊥ AT 1$ по предыдущему пункту.

$PIC$

Тогда угол между плоскостями $(AC1T)$ и $(A1B1C1)$ равен углу между прямыми $AT$ и $A1T$ (очевидно, что этот угол меньше прямого).

Рассмотрим треугольник $ATA1.$ В нём имеем:

tg∠AT A1 = AA1-= 6= 2 ⇒ ∠AT A1 = arctg2 A1T 3

Ответ:

б) $arctg2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2116Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA1$ равно $2√2.$ На ребрах $AB,$ $A1B1$ и $B1C1$ отмечены токи $M,$ $N$ и $K$ соответственно, причем $AM = B1N = C1K = 2.$

а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $(MNK )$ с ребром $AC.$ Докажите, что $MNKL$ — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $(MNK ).$

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим четырехугольник $MNKL$ . Т.к. плоскости основания параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с плоскостью $MNK$ тоже параллельны, то есть $NK ∥ ML$ .
Заметим, что если совместить наложением равные равносторонние треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ так, чтобы точка $B1$ наложилась на $A$ , точка $N$ на $M$ , то точка $K$ наложится на $L$ (из-за параллельности $NK$ и $ML$ ).
Следовательно, $△AML = △B1NK$ . Следовательно, $ML =NK$ . Таким образом, по признаку $MNKL$ – параллелограмм.

$PIC$

Как следствие, $AL = B1K = 4$ .

По теореме косинусов из $△AML$ найдем

√- ML2 = 22 +42− 2⋅2 ⋅4⋅cos60∘ = 12 ⇒ ML = 2 3.

Заметим, что $AL2 = AM2 + ML2$ ( $42 =22 +(2√3)2$ ), следовательно, по обратной теореме Пифагора $∠AML = 90∘$ .

Таким образом, $ML ⊥ AB$ и $ML ⊥ BB1$ , следовательно, $ML ⊥ (ABB1 )$ , следовательно, $ML ⊥ MN$ .
Таким образом, $∠NML = 90∘$ и $MNKL$ – параллелограмм, у которого один угол прямой, следовательно, все углы прямые, следовательно, это прямоугольник.
Для того, чтобы доказать, что это квадрат, достаточно доказать равенство двух смежных сторон. Поэтому покажем, что $ML = MN$ .
Рассмотрим грань $ABB1A1$ и проведем в ней $NN1 ⊥ AB$ , чтобы найти $MN$ .

$PIC$

Тогда $N1B = NB1 = 2$ , следовательно, $MN1 = 6− 2− 2= 2$ . Тогда из прямоугольного $△MNN1$ имеем:

∘ -----√---- √ - MN = 22+ (2 2)2 = 2 3.

Таким образом, $MN = ML$ , чтд.
б) Построим сечение призмы плоскостью $MNK$ . Для этого необходимо найти отрезки, по которым она пересекает грани $BB1C1C$ и $ACC1A1$ .
Пусть $O$ – точка пересечения прямых $ML$ и $BC$ . Тогда $O$ лежит в грани $BCC1B1$ . Следовательно, соединив точки $O$ и $K$ , получим точку пересечения плоскости с ребром $CC1$ – точку $P$ . Тогда $MNKP L$ – искомое сечение.

$PIC$

Его площадь будем искать как сумму площади квадрата $MNKL$ и треугольника $KP L$ .
Площадь квадрата $MNKL$ равна $√- (2 3)2 = 12$ .

По теореме Менелая для $△ABC$ и прямой $MO$ имеем:

BM-- AL- CO- 4 4 CO- MA ⋅LC ⋅OB = 1 ⇒ 2 ⋅ 2 ⋅OB = 1 ⇒ CO = 2.

Таким образом, $△P KC1 = △P OC$ как прямоугольные по катету и острому углу, следовательно, $√ - CP = PC1 = 2$ .
Тогда по теореме Пифагора:

∘ ----√---- √ - KP = 22+( 2)2 = 6; ∘ -----√--- √- LP = 22+ ( 2)2 = 6

То есть $△KP L$ равнобедренный. Следовательно, его высота $h$ из вершины $P$ к основанию (на рисунке не отмечена) по теореме Пифагора ищется как

∘ ------------ h = (√6)2− (√3)2 = √3.

Тогда

1 √ - √- S △KPL = 2 ⋅ 3⋅2 3 =3

Следовательно, площадь сечения равна $12+ 3= 15$ .

Ответ: б) 15

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1718Максимум баллов за задание: 3

На ребрах $CD$ и $BB1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $DP = 4,$ $B1Q = 3.$ Плоскость $(AP Q)$ пересекает ребро $CC1$ в точке $M.$

а) Докажите, что точка $M$ делит ребро $CC1$ пополам.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $(APQ ).$

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

а) Так как грани $ABB1$ и $DCC1$ параллельны, то плоскость $AP Q$ пересечет их по параллельным прямым. Поэтому $P M ∥AQ$ .

$PIC$

Таким образом, $△ ABQ ∼ △P CM ⇒ CM = PC-⋅BQ-= 6 AB$ , т.е. $M$ – середина ребра $CC1$ .

б) Расстояние от точки $C$ до плоскости $APQ$ равно высоте $CH$ пирамиды $CMP S$ ( $C$ – ее вершина, $MP S$ – основание). Найдем $CH$ с помощью формулы:

3VCMPS hC = -SMPS--

Для этого рассмотрим эту пирамиду как пирамиду с вершиной в точке $S$ . $1 1 VSCMP = 3 SC ⋅ 2CM ⋅CP$ . Из подобия треугольников $SCP$ и $SAB$ найдем $SC = 24$ . Следовательно, $VSCMP = 192$ .

По теореме Пифагора $√ -- √-- P S = 8 10,PM = 10,SM = 6 17$ .

Тогда по формуле Герона

------------------------------------------------------------ S = ∘ (5 +4√10-+ 3√17)(5+ 4√10-− 3√17-)(5+ 3√17− 4√10)(3√17− 5+ 4√10) MPS

Следовательно, $SMPS = 24√26$

Следовательно,

3V 12√26- hC = -SCMPS-= --13- MPS

Ответ:

б) $12√26- -13--$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2661Максимум баллов за задание: 3

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона $AB$ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах $B1C1$ и $AB$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причем $PC1 = 3,$ $AQ = 4.$ Плоскость $(A1P Q)$ пересекает ребро $BC$ в точке $M.$

а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $BC.$

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $(A1PQ ).$

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

а) Обозначим $(A1PQ) =α.$ Так как плоскости $(ABC )$ и $(A1B1C1)$ параллельны, то плоскость $α$ пересечет их по параллельным прямым, то есть $QM ∥A1P.$ Тогда $△ A1B1P ∼△QBM,$ откуда имеем:

BM BQ B-P-= B-A-- 1 1 1

Следовательно,

B1P-⋅BQ- (12−-3)⋅(12-− 4) 1 BM = B1A1 = 12 =6 = 2BC

Тогда точка $M$ делит ребро $BC$ пополам и является его серединой.

$PIC$

б) Расстояние от точки $B$ до плоскости $α$ равно высоте пирамиды $BQSM,$ проведенной из вершины $B$ к основанию $QSM :$

3VBQSM hB = -SQSM--

Рассмотрим $BQSM$ как пирамиду с вершиной в точке $S$ и основанием $QBM.$ Тогда

V = 1SB ⋅S = 1 ⋅SB ⋅ 1⋅QB ⋅BM ⋅sin∠QBM BQSM 3 QBM 3 2

Из подобия треугольников $SBM$ и $SB1P$ найдем $SB = 4.$ Тогда

1 1 √3- √- VBQSM = 3 ⋅4⋅2 ⋅8⋅6⋅-2-= 16 3

По теореме Пифагора в треугольнике $SBM$ найдем $√ -- SM = 2 13.$

По теореме Пифагора в треугольнике $SBQ$ найдем $√ - SQ = 4 5.$

По теореме косинусов в треугольнике $QBM$ найдем $√ -- QM = 2 13.$

Следовательно, $QM = SM$ и $△ QSM$ — равнобедренный. С помощью высоты, проведенной к основанию $QS,$ найдем $S = 8√10. QSM$

Тогда искомое расстояние равно

√ - √ -- hB = 3VBQSM-= 3-⋅1√6--3= 3--30 SQSM 8 10 5

Ответ:

б) $3√30 -5---$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3