.00 №14 из ЕГЭ 2016
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 
На ребрах
и 
отмечены токи 
и 
соответственно, причем 
а) Пусть 
— точка пересечения плоскости 
с ребром 
Докажите, что 
— квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 
Источники:
а) Рассмотрим четырехугольник 
. Т.к. плоскости основания параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с
плоскостью 
тоже параллельны, то есть 
.
Заметим, что если совместить наложением равные равносторонние треугольники 
и 
так, чтобы точка 
наложилась на 
, точка 
на 
, то точка 
наложится на 
(из-за параллельности 
и 
).
Следовательно, 
. Следовательно, 
. Таким образом, по признаку 
– параллелограмм.
Как следствие, 
.
По теореме косинусов из 
найдем
Заметим, что 
(
), следовательно, по обратной теореме Пифагора 
.
Таким образом, 
и 
, следовательно, 
, следовательно, 
.
Таким образом, 
и 
– параллелограмм, у которого один угол прямой, следовательно, все углы прямые,
следовательно, это прямоугольник.
Для того, чтобы доказать, что это квадрат, достаточно доказать равенство двух смежных сторон. Поэтому покажем, что
.
Рассмотрим грань 
и проведем в ней 
, чтобы найти 
.
Тогда 
, следовательно, 
. Тогда из прямоугольного 
имеем:
Таким образом, 
, чтд.
б) Построим сечение призмы плоскостью 
. Для этого необходимо найти отрезки, по которым она пересекает грани 
и 
.
Пусть 
– точка пересечения прямых 
и 
. Тогда 
лежит в грани 
. Следовательно, соединив
точки 
и 
, получим точку пересечения плоскости с ребром 
– точку 
. Тогда 
– искомое
сечение.
Его площадь будем искать как сумму площади квадрата 
и треугольника 
.
Площадь квадрата 
равна 
.
По теореме Менелая для 
и прямой 
имеем:
Таким образом, 
как прямоугольные по катету и острому углу, следовательно, 
.
Тогда по теореме Пифагора:
То есть 
равнобедренный. Следовательно, его высота 
из вершины 
к основанию (на рисунке не отмечена) по
теореме Пифагора ищется как
Тогда
Следовательно, площадь сечения равна 
.
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
