.00 №14 из ЕГЭ 2015

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Проведем прямую, принадлежащую плоскости и перпендикулярную плоскости основания.
– медиана боковой грани, – точка пересечения и , – высота пирамиды (по свойству правильной пирамиды высота падает в точку пересечения медиан основания). Рассмотрим плоскость . Проведем в ней прямую . Тогда так же, как и , будет перпендикулярна . Следовательно, плоскость и есть плоскость .
 

 

Построим сечение пирамиды этой плоскостью.
Плоскость пересечет плоскость по прямой , параллельной , а значит и . Действительно, если не параллельно , то они пересекаются. Следовательно, пересекает и плоскость , что невозможно, т.к. по признаку (т.к. ). Таким образом, – сечение пирамиды плоскостью .

 

Заметим, что – середина . По теореме Фалеса

Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины треугольника, то . Следовательно, . Следовательно, , следовательно, , откуда следует утверждение пункта а).

 

б) Прямая параллельна плоскости (т.к. ), следовательно, расстояние от любой точки прямой до плоскости одинаково. Поэтому будем искать это расстояние как расстояние от точки . Докажем, что и есть искомое расстояние.
Во-первых, , , следовательно, . Во-вторых, т.к. , то . Таким образом, мы нашли две пересекающиеся прямые в плоскости ( и ), перпендикулярные . Следовательно, по признаку .

 

Из пункта а) следует, что . – высота в правильном треугольнике со стороной , следовательно,

 

Заметим, что в данной задаче условие “боковое ребро равно ” является лишним.