.00 №18 из ЕГЭ 2014

Сделаем замену: , следовательно, . Тогда неравенство примет вид:

Заметим, что при раскрытии модулей в левой части (на соответствующем промежутке) коэффициент перед (в левой части) будет равен либо , либо , либо , либо . В любом случае при переносе данного слагаемого в правую часть и приведении подобных слагаемых коэффициент перед (в правой части) будет положительным.
Например, если модули раскроются оба положительными (то есть ), то неравенство для таких примет вид: Следовательно, справа получается возрастающая линейная функция.

 

Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция всегда будет монотонно возрастающей.
Поэтому если рассмотреть неравенство в виде

то для того, чтобы неравенство при всех выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функции был выше оси . Следовательно, значение (в левой точке отрезка ) должно быть неотрицательным:

Заметим, что . Следовательно, данное неравенство имеет вид: . Как известно, при всех и выполняется неравенство: . Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел и , хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно