.00 №18 из ЕГЭ 2014

Заметим, что – периодическая функция с периодом . Таким образом, если данное уравнение будет иметь решение на , то оно также будет иметь еще одно решение на (в точках тангенс не определен). А вот решения из промежутка не дублируются на отрезке .
Таким образом, данное уравнение будет иметь два решения на отрезке в одном из двух случаев:

 

1) Если оно будет иметь ровно одно, причем неотрицательное, решение относительно .

2) Если оно будет иметь ровно два различных, причем отрицательных, решения относительно .

 

Рассмотрим первый случай.

 

Введем обозначение . Тогда . Получим уравнение:

Заметим, что по теореме Виета корнями данного уравнения будут: Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, причем , нужно:

Рассмотрим второй случай.

 

Т.к. в этом случае .
Также остается:

Для того, чтобы уравнение имело два корня, причем оба были меньше , нужно:

Таким образом, окончательный ответ в задаче: