.00 №18 из ЕГЭ 2014

1) Сделаем замену: , тогда уравнение примет вид

Дискриминант данного уравнения равен

Следовательно, уравнение всегда имеет два (быть может, совпадающих) корня

2) Запишем ответ для в общем виде. Пусть – корень уравнения . Тогда, сделав обратную замену, получаем

При коэффициент перед равен нулю, следовательно, уравнение системы примет вид: . Данное уравнение при будет иметь бесконечно много решений, при не будет иметь решений. Следовательно, сама система в каждом случае (после пересечения решения уравнения с ОДЗ ) будет иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь решений.
Т.к. случай с бесконечным множеством решений нам не подходит (нам нужно два решения), то точно не равно нулю.

 

Таким образом, мы видим, что при каждом фиксированном мы получаем либо одно решение для (если ):

либо ни одного решения для (если ).
Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы :

а также, чтобы полученные корни для удовлетворяли ОДЗ .

3) Найдем в общем виде условия, при которых корень удовлетворяет ОДЗ .

4) Подставим наши корни и вместо :

и

Пересекая данные решения между собой и с (найденные во 2-ом пункте), получим окончательный ответ