.00 №19 из ЕГЭ 2017

а) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Приведем пример. Пусть Тогда Следовательно, можно взять

Значит, на доске могут быть написаны числа

Они отличаются не более чем в 3 раза.

б) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Тогда по условию где Предположим, что сумма этих чисел равна 94. Тогда

Так как все числа натуральные и различные, то при наибольшее возможное значение равно 12. Но тогда между и не умещается восемь различных натуральных чисел.

При наименьшая сумма достигается, если числа равны

Тогда сумма равна

Заметим, что при увеличении будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, десять таких чисел не существует.

в) Заметим, что Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид где — целые.

Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести:

Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел:

Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует.

Докажем, что на доске не может быть написано четыре числа и более.

Пусть на доске при написано чисел:

Рассмотрим два случая.

1) Пусть какое-то содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на 25: где Тогда все оставшиеся числа, которых не менее трех, не меньше чем то есть не меньше 9.

Тогда произведение всех чисел не меньше чем

Получили противоречие, следовательно, среди написанных на доске чисел не может быть числа, кратного 25.

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку.

Рассмотрим три числа имеющие в разложении одну пятерку:

Здесь — степени двойки. Тогда и , следовательно, Это невозможно, поскольку тогда более чем в три раза больше Значит, на доске не может быть написано четыре числа и более.