.00 №19 из ЕГЭ 2017

а) Минимальная возможная сумма у Васи равна 6, так как наименьшее число в любом из шести столбцов равно хотя бы 1. Тогда попробуем построить пример для суммы Васи, равной 6. Для удобства сразу впишем в нижнюю строчку шесть чисел 1. Тогда какие бы числа мы не вписали в оставшиеся клетки таблицы, сумма у Васи будет равна 6.

Теперь нам нужно вписать числа в таблицу так, чтобы сумма у Пети равнялась Представим 12 в виде суммы шести чисел, одно из которых равно 1:

Тогда в каждую из оставшихся строк будем вписывать одинаковые числа и построим следующий пример:

Получаем, что сумма у Пети равна 12, а у Васи равна 6.

б) Максимальная сумма, которая может получиться у Пети, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда наименьшее число в каждой строке равно 6. Это значит, что все числа в таблице будут равны 6, так как в таблице не могут стоять числа, большие 6.

Минимальная сумма, которая может получиться у Васи, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда в каждом столбце будет стоять хотя бы одна 1.

В допустимом диапазоне сумм существует единственная пара чисел, которые отличаются в 6 раз: это 6 и 36. Действительно, любое число, большее 6, при умножении на 6 попадет вне диапазона, значит, 6 — это единственное число, которое может выступать в качестве меньшего в паре.

Выше уже показано, что ситуации, дающие 6 и 36, не могут выполняться одновременно, так как если сумма у Васи равна 6, то в таблице присутствует число 1, а если сумма у Пети равна 36, то все числа в таблице равны 6. Следовательно, сумма у Пети не может быть в 6 раз больше суммы у Васи.

в) Пусть наименьшее число в таблице равно Тогда сумма у Васи не меньше чем

Рассмотрим сумму Пети: одно из слагаемых обязательно равно остальные не превышают 6. Следовательно, сумма у Пети не превышает

Тогда отношение суммы Пети к сумме Васи не больше чем

Построим пример для отношения, равного