.00 №19 из ЕГЭ 2017
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции. Сначала вычисляет среднее
арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое
полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число
а) Может ли число 
равняться среднему арифметическому пяти чисел, выбранных изначально?
б) Может ли число 
быть в пять раз больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?
в) В какое наибольшее целое число раз число 
может быть больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных
изначально?
Источники:
На каждом шаге Саша вычисляет среднее арифметическое двух натуральных чисел, то есть их сумму, деленную на 2. Обозначим
исходные числа через 
тогда имеем:
а) Нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа 
для которых
выполняется
Домножим обе части на 
и преобразуем:
Достаточно выбрать различные натуральные числа 
такие, чтобы числитель дроби в правой части был
натуральным и кратным 4 и значение дроби было отличным от 
Например, возьмем 
Тогда имеем:
Таким образом, подходит набор исходных чисел
б) Теперь нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа 
для которых
выполняется
Очевидно, что для любых натуральных чисел правая часть больше, чем левая, и такое равенство выполняться не может.
в) Выясним, для какого наибольшего целого числа 
при некоторых различных натуральных 
может
выполняться равенство
Перенесем все в правую часть, получим, что равенство выше равносильно
Очевидно, что для любого целого 
все скобки в правой части будут строго положительны и сама правая часть целиком
также будет строго положительна. Таким образом, мы доказали, что 
Попробуем построить пример для 
Нам нужно подобрать такие различные натуральные 
для которых
выполняется
Домножим обе части на 
и преобразуем:
Достаточно выбрать различные натуральные числа 
такие, чтобы числитель дроби в правой части был кратным
8 и значение дроби было отличным от 
Например, возьмем 
Тогда
имеем:
Таким образом, подходит набор исходных чисел
а) Да, может
б) Нет, не может
в) 2
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
