.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) Пусть — общее количество партий, а — количество побед. Показатель «побед» будет равняться 17, если — отношение количества побед к общему количеству партий — будет меньше 0,175, но хотя бы 0,165. Тогда можем получить следующее неравенство:

Будем перебирать возможные значения Начнем с наибольшего. Пусть тогда

Полученное неравенство не имеет решений в натуральных числах. Проверим следующее по величине значение, пусть Тогда

Проверим полученную пару значений. Если побед было 8, а партий 48, то процент побед равен

Значит, число округляется до 17, следовательно, при 8 победах и 48 партиях показатель «побед» равен 17.

б) После выигранной партии показатель «побед» не уменьшается, значит, если показатель «поражений» увеличился, то показатель «ничьих» обязательно уменьшился.

Сконструируем такую ситуацию. Если было сыграно 200 партий, а 50 из них выиграно, то показатель «побед» равен 25. Одна партия сыграна вничью, тогда показатель «ничьих» равен 1, остальные 149 партий проиграны, тогда показатель «поражений» равен

После еще одной победы показатель «побед» остаётся равным 25, показатель «ничьих» становится равным 0, а показатель «поражений» становится соответственно

Значит, показатель «поражений» увеличился после выигранной партии.

в) Пусть было сыграно партий. Если из них были выиграны, а были сыграны вничью, то по условию Оценим сумму показателей «побед» и «ничьих». При подсчете этих показателей происходит округление не более чем на 0,5, поэтому сумма показателей «побед» и «ничьих» будет отличаться от суммы процентов не больше чем на 1. Тогда если — показатель «побед», — показатель «ничьих», то

Заметим, что если то

Тогда

Значит, при показатель «поражений» будет больше 1.

Если то имеем:

Тогда показатели «побед» и «ничьих» будут целые, значит, показатель «поражений» будет равен

Значит, наименьшее количество партий равно 51. Попробуем построить пример на 51 партию, то есть Тогда мы уже знаем, что

Заметим, что если хотя бы один из показателей не будет округлен, то

Значит, чтобы эта сумма действительно могла равняться 99, оба показателя должны округлиться вверх. Тогда можем получить два неравенства на дробные части показателей «побед» и «ничьих»:

Будем перебирать по количеству побед. Получим, что если было выиграно 12 партий, а 38 партий сыграны вничью, то показатель «побед» будет равен 24, а показатель «ничьих» — 75. Одна партия будет проиграна, тогда показатель «проигрышей» равен