.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами:

Так как количество таких пар 50, то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество составить из всех остальных чисел.

б) Данное множество не является хорошим, так как больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы

Покажем по индукции, что эта формула верна.

1) При имеем: Это верное равенство.

2) Пусть теперь формула верна для покажем, что тогда она верна и для

По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна тогда вся сумма равна

Что и требовалось.

Тогда можем оценить сумму

в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться равенство одного из двух видов:

Равенство может быть выполнено только в случае так как сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества.

Рассмотрим теперь случай равенства вида

В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.

Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие числа 3 и 5. Так как что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида они должны стоять по разные стороны от знака равенства:

Тогда на роль пары чисел подходят пары

Всего таких пар 4, следовательно, в случае равенства вида есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих числа 3 и 5.

Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие чисел 3 и 5. Они, таким образом, являются подмножествами множества

В этом множестве всего 5 элементов, то есть искомое подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве все элементы чётные, то в равенстве вида слева и справа должны стоять чётные числа. Тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.

Следовательно, нельзя удалять из множества числа 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него чисел 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств

Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие чисел 3 и 5.

Итого у исходного множества есть ровно хороших четырёхэлементных подмножеств.