.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) Покажем, что подходит: произведение цифр равно тогда отношение к произведению его цифр равно

б) Числа 113 и 18 взаимно просты, тогда для того, чтобы отношение к произведению его цифр было равно необходимо, чтобы делилось на 113.

Таким образом, если какое-то подходит, то оно имеет вид , где так как — уже не трёхзначное.

Перебором убеждаемся, что ни одно число из множества не подходит на роль , следовательно, отношение к произведению его цифр не может быть равно

в) Отношение к произведению его цифр при равно Если при каком-то отношение окажется ещё больше, необходимо, чтобы произведение цифр было равно 18.

В самом деле, произведение цифр должно делиться на 18, поскольку отношение к произведению его цифр можно сократить до дроби вида При этом если то даже при сокращении дроби в 2 раза числитель станет В предложенном выше примере в числителе находится что даёт большее отношение, чем любое допустимое отношение, для которого произведение цифр не равно 18.

Пусть произведение цифр равно Тогда наибольшее значение, которое может принимать число сотен в , равно . Поскольку произведение цифр равно 18, в качестве двух других цифр возьмем 2 и 1. При этом всякое трёхзначное число, записанное полученными цифрами, делится на 3 и дробь оказывается сократимой.

Наибольшее значение, которое может принимать отличное от 9 число сотен в равно Тогда в качестве двух других цифр возьмем 3 и 1. Наибольшее такое и есть 631.