.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) Заметим, что если мы найдем набор последовательных чисел вида то решим задачу. Это так, поскольку произведение данных чисел в два раза меньше произведения чисел в силу отличия этих наборов только числами и

Найдем на отрезке два числа, отличающихся вдвое. Например, это могут быть числа 23 и 46. Тогда если Вася перемножит числа то результат Пети, перемножившего числа будет в два раза больше.

б) Докажем, что чем больше чисел возьмет Вася, тем больше будет отношение результата Пети к результату Васи.

Пусть Вася перемножил чисел из отрезка Тогда пусть его произведение равно а произведение Пети равно Их отношение равно

Пусть Вася перемножил те же чисел и еще одно — число Результат Васи в этом случае равен результат Пети в этом случае равен Тогда их отношение равно

Значит, наибольшее отношение результатов достигается в том случае, когда Вася перемножил все числа. Тогда произведения Пети и Васи отличаются в раза:

Значит, результат Пети не может отличаться от результата Васи в 6 раз.

в) В предыдущем пункте мы доказали, что результат Пети не может отличаться от результата Васи больше чем в раза. Тогда если результаты должны отличаться в целое число раз, наибольшее такое число равно 3.

Найдем два числа из отрезка которые отличаются в 3 раза. Например, это могут быть числа 23 и 69. Тогда произведения наборов чисел и отличаются ровно в раза. Значит, наибольшее целое число раз, в которое могут отличаться результаты Пети и Васи, равно 3.