.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых равна 60:

Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1:

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Пусть выполнено условие

Тогда, прибавив к обеим частям по 1, получим

Отняв от обеих частей по 1, получим

Изменим условие задачи, разрешив быть равными 0.

Решение исходной задачи получается из решения изменённой. В самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности , то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности Если бы это было не так и была последовательность подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у то последовательность подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была меньше, чем у

Ясно, что для того, чтобы каждое из было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед.

Отсюда следует, что среди нет равных 0.

Пусть на последовательности достигается минимум суммы.

Покажем, что Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой — противоречие.

Так как среди нет равных 0, то среди нет равных 1, иначе у 1 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть меньше 2, но среди нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 1.

Так как среди нет равных 1, то среди нет равных 2, иначе у 2 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2. Тогда значит, не может быть 4 или больше. Следовательно, но тогда чего быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 2.

Так как среди нет равных 2, то среди нет равных 3, иначе у 3 не будет меньшего соседа.

Среди не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у и Пусть тогда то есть значит, чего быть не может. Для аналогично.

Среди не может быть больше двух пятёрок, иначе среди и была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может.

Итак, искомая последовательность

Сумма её членов равна 28.

Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие:

Сумма её членов равна 36.