.00 №19 из ЕГЭ 2016

а) В качестве ответа подходит следующая последовательность ходов:
0) ,
1) ,
2) ,
3) .

б) Грубо говоря, начиная с некоторого момента после каждого хода минимальное из чисел на доске вырастает примерно в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное значение должно в некотором смысле не слишком сильно отличаться от , что намного больше, чем . Данное рассуждение не является строгим, но именно его формальный аналог и приведёт нас к строгому решению.

Итак, изложим аналогичное решение формально. Пусть в какой-то момент каждое из чисел и , записанных на доске, не меньше , тогда

Таким образом, в любом случае после следующего хода оба числа на доске будут больше, чем минимальное из и (и опять будут не меньше ).

Покажем, что спустя хода минимальное из чисел на доске обязательно будет не меньше . После первого хода мы получим либо , либо . Тогда после второго хода мы можем получить только одну из пар

То есть в результате второго хода каждое из чисел на доске так или иначе не меньше , следовательно, и далее оба числа на доске будут не меньше .

Получается, что после второго хода минимальное из чисел на доске не меньше , а с каждым ходом после второго минимальное из чисел на доске вырастает более чем в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное из чисел на доске будет больше, чем , следовательно, после ходов ни одно из двух чисел на доске не может быть равно .

в) По условию эта разность не может быть равна . При этом оба числа на доске – натуральные, следовательно, разность большего и меньшего из них не меньше .

Рассмотрим повнимательнее преобразование, которое мы делаем с числами за один ход. Если до этого хода ровно одно из чисел было чётным, то после этого хода обязательно оба числа будут нечётными. Если же до этого хода оба числа были нечётными, то после этого хода ровно одно из чисел будет нечётным.

Тогда после одного хода, начиная с , на доске оба числа будут нечётными, как и после трёх ходов и вообще после любого нечётного количества ходов. Так как – нечётное, то через ходов оба числа на доске будут нечётными, следовательно, разность между большим и меньшим из них не может быть равна .

В итоге, мы доказали, что разность между большим и меньшим из чисел на доске после ходов не меньше .

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Так как в начальный момент на доске написаны числа, разность между которыми равна , то можно последовательно выполнять ходы, такие что разность между числами на доске будет чередоваться: то она равна , то равна . Следовательно, через ходов разность чисел на доске действительно может быть равна .