.00 №19 из ЕГЭ 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано число 2045 и ещё несколько не менее двух натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных чисел.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Источники:
а) Попробуем построить пример. Возьмем в наш набор единицу. Тогда если она не будет входить в сумму двух чисел, то
будет делить ее. Также возьмем в наш набор двойку. Для того чтобы она делила все суммы, в которые не входит,
остальные числа должны быть нечетными. Значит, наш набор будет выглядеть так: 
и еще 1021 нечетное
число.
Рассмотрим сумму единицы и двойки. Она равна 
поэтому тройка должна содержаться в нашем наборе. Так как 
— нечетное число, противоречия не возникает. Остальные 1020 нечетных чисел можем набрать произвольным
образом.
Тогда, например, набор чисел на доске может быть таким:
В этом наборе есть числа 
и 1020 нечетных чисел от 
до 
Сумма двух чисел, каждое из которых не
единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного
числа будет делиться на двойку.
б) Следуя рассуждениям предыдущего пункта, мы можем взять набор из чисел 
и добавить к нему любое
количество нечетных чисел. В таком наборе будут выполняться все условия задачи.
Тогда, например, набор чисел на доске может состоять из пяти чисел:
Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.
в) Докажем, что для трёх чисел не может выполняться условие задачи. Рассмотрим три числа 
Тогда 
и при этом по условию 
должно делиться на 
Пусть 
где 
Тогда
имеем:
Значит, на доске написаны числа 
и 
Заметим, что тогда по условию 
должно делиться на 
следовательно, и 
должно делиться на 
Пусть
где 
Тогда 
и имеем:
Значит, на доске написаны числа 
и 
Заметим, что число 
не делится ни на 
ни на 
следовательно,
Но тогда 
что противоречит условию. Значит, три числа не доске написаны быть не могут.
Так как по условию на доске записано не менее трех чисел, то мы получили, что на доске должно быть не менее четырех
чисел.
Пример на четыре числа:
Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.
a) Да
б) Да
в) 4
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
