Тема Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

№19 из ЕГЭ 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26707Максимум баллов за задание: 4

Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, …, 22 выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б) Может ли число $k$ быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k.$

Источники: ЕГЭ 2014

Показать ответ и решение

а) По условию задачи числа в каждой паре должны выглядеть как $x$ и $3x$ . Тогда сумма чисел в каждой делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится на 4. Но 170 на 4 не делится — противоречие.

Значит, сумма всех $2k$ чисел, выбранных так, что в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого, не может равняться 170.

б) Если $k = 11$ , то были взяты все числа. Найдем сумму всех чисел. Для этого вспомним формулу суммы первых $n$ натуральных чисел:

(1 + n)⋅n Sn = ---2----

Значит, сумма наших чисел равна

1 +2 +...+ 21+ 22= (1+-22)⋅22= 253 2

Теперь посчитаем сумму чисел по парам. По условию сумма чисел в каждой паре не больше 27 и все суммы различны. Тогда оценим максимальную возможную сумму чисел. Для этого возьмём 11 максимальных различных сумм, которые могли получиться:

(27-+17)⋅11- 27+ 26+ ...+17 = 2 =242

Заметим, что $242< 253$ , то есть максимальная возможная сумма по парам меньше, чем сумма всех чисел. Значит, $k ⁄= 11$ .

в) По предыдущему пункту $k ⁄=11$ . Значит, наибольшее возможное $k$ не больше 10. Приведем пример для $k = 10$ :

$pict$

Ответ:

а) Нет

б) Нет

в) 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27764Максимум баллов за задание: 4

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $1- 25?$

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $1 35?$

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Источники: ЕГЭ 2014

Показать ответ и решение

Пусть критики выставили оценки $a1 <a2 <...< a7,$ тогда искомая разность равна

a1-+...+-a7 a2+-...+-a6 7 − 5 = 5a1 +5a7− 2a2− 2a3− ...− 2a6 = ------------35------------= 5a +5a − 2(a + ...+ a ) = -1----7---35-2-------6-

а) Если разность равна $1-, 25$ то

5a1+-5a7−-2(a2+-...+-a6) = 1- 35 25

Следовательно,

7 5a1+5a7− 2(a2+ ...+ a6)= 5

Так как все оценки экспертов — целые числа, то слева находится целое число, но $7 5$ число нецелое, значит, такой ситуации не могло возникнуть.

б) Если разность равна $1-, 35$ то

5a1+-5a7−-2(a2+-...+-a6) = 1- 35 35

Следовательно,

5a1+ 5a7− 2 (a2+ ...+a6)= 1

Нужно подобрать 7 таких различных целых чисел. Подойдут, например, числа

a1 =3, a2 = 4, a3 = 5, a4 =6, a = 8, a = 9, a = 10 5 6 7

Тогда разность рейтингов равна

5a1-+5a7−-2(a2+-...+-a6) 35 = 15+ 50− 2(4+ 5+ 6+ 8+ 9) = -----------35-----------= 65− 2⋅32 1 = ---35--- = 35

в) Заметим, что $ai < ai+1,$ так как все оценки различны. Значит, $ai+ 1≤ ai+1,$ так как все оценки — целые числа. Тогда разность рейтингов равна

5a1+ 5a7 − 2 (a2+ ...+a6) 5a1 +5a7− 2((a1+ 1)+ ...+(a1+ 5)) ----------35---------- ≤ --------------35---------------= 5a − 5a − 30 5⋅12− 5⋅0 − 30 6 = --7--351----≤ ------35------= 7

По предыдущему рассуждению можно понять, что такая разность достигается, когда оценки критиков равны

a1 =0, a2 = 1, a3 = 2, a4 =3, a = 4, a = 5, a = 12 5 6 7

Тогда разность рейтингов равна

5a1-+5a7−-2(a2+-...+-a6) 35 = 5⋅0+ 5⋅12− 2⋅(1+ 2+ 3+ 4+ 5) = -------------35-------------= 60− 2⋅15 6 = ---35---= 7

Ответ:

а) Нет

б) Да

в) $6 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания