.00 №19 из ЕГЭ 2014
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, …, 22 выбрали 
различных чисел. Выбранные числа разбили на пары
и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят
27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 
выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три
раза больше другого?
б) Может ли число 
быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа 
Источники:
а) По условию задачи числа в каждой паре должны выглядеть как 
и 
. Тогда сумма чисел в каждой делится на 4. Значит,
сумма всех выбранных чисел делится на 4. Но 170 на 4 не делится — противоречие.
Значит, сумма всех 
чисел, выбранных так, что в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого, не может
равняться 170.
б) Если 
, то были взяты все числа. Найдем сумму всех чисел. Для этого вспомним формулу суммы первых 
натуральных чисел:
Значит, сумма наших чисел равна
Теперь посчитаем сумму чисел по парам. По условию сумма чисел в каждой паре не больше 27 и все суммы различны. Тогда оценим максимальную возможную сумму чисел. Для этого возьмём 11 максимальных различных сумм, которые могли получиться:
Заметим, что 
, то есть максимальная возможная сумма по парам меньше, чем сумма всех чисел. Значит,
.
в) По предыдущему пункту 
. Значит, наибольшее возможное 
не больше 10. Приведем пример для
:
а) Нет
б) Нет
в) 10
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
