.00 №19 из ЕГЭ 2013

а) Пусть число , где – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать целые значения от до (только не может быть равно ).

Предположим, что

Пусть , откуда, так как – цифры, то и . Тогда , следовательно, , откуда . Таким образом, получили число .
Проверкой убеждаемся, что действительно .
Ответ: да.

б) Предположим, что

Следовательно, делится на , следовательно, его можно представить в виде , где – некоторое натуральное число и . Заметим, что так как – трехзначное число, то , откуда .

Из того, что делится на , можно сделать вывод, что делится на . Следовательно, сумма его цифр должна делиться на . Но так как сумма его цифр равна , а , то . Следовательно, . Но у числа сумма цифр не равна , следовательно, не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

в) Рассмотрим .

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем . Сумма его цифр равна и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем .
Докажем, что – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

Предположим противное. Пусть частное от деления на равно , где – натуральное число. Тогда:

Так как число сотен не может быть равно нулю, то . Так как , то , следовательно, . Так как , то , следовательно, вся левая часть равенства .

Так как число единиц не может быть больше , то есть , и , то .

Следовательно, в нашем равенстве левая часть , а правая . Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.