№19 из ЕГЭ 2013

а) Пусть число , где – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать целые значения от до (только не может быть равно ).

Предположим, что

Пусть , откуда, так как – цифры, то и . Тогда , следовательно, , откуда . Таким образом, получили число .
Проверкой убеждаемся, что действительно .
Ответ: да.

б) Предположим, что

Следовательно, делится на , следовательно, его можно представить в виде , где – некоторое натуральное число и . Заметим, что так как – трехзначное число, то , откуда .

Из того, что делится на , можно сделать вывод, что делится на . Следовательно, сумма его цифр должна делиться на . Но так как сумма его цифр равна , а , то . Следовательно, . Но у числа сумма цифр не равна , следовательно, не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

в) Рассмотрим .

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем . Сумма его цифр равна и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем .
Докажем, что – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

Предположим противное. Пусть частное от деления на равно , где – натуральное число. Тогда:

Так как число сотен не может быть равно нулю, то . Так как , то , следовательно, . Так как , то , следовательно, вся левая часть равенства .

Так как число единиц не может быть больше , то есть , и , то .

Следовательно, в нашем равенстве левая часть , а правая . Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.

Пусть дано трёхзначное число Тогда его сумма сумма цифр равна

а) Если частное числа и его суммы цифр равно 12, то

Так как и — цифры, то числа и целые. Значит, либо кратно 11, либо Оба варианта возможны только при Тогда

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Частное трёхзначного натурального числа и суммы его цифр может быть равным 12. Например, это верно для числа 108:

б) Пусть возможно такое, что частное числа и его суммы цифр равно 87, тогда

Оценим Так как то

Тогда либо и либо и Но ни 77, ни 86 не кратно 13, поэтому частное числа и его суммы цифр не может равняться 87.

в) Пусть где — натуральное. Тогда

Оценим значения и Так как и то имеем

Таким образом, Тогда наименьшее возможное Проверим, достигается ли это значение. При получаем следующее равенство:

Оно выполняется при и

Значит, наименьшее возможное натуральное значение частного числа и суммы его цифр равно 11.

Так как последовательность состоит из различных натуральных чисел, можем считать, что последовательность возрастающая.

Сумма первых членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью равна

а) Попробуем построить пример. Будем рассматривать суммы нескольких первых натуральных чисел. Заметим, что Тогда Значит, сумма чисел, описанных в условии, может равняться 14.

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Да, например, арифметическая прогрессия, состоящая из чисел 2, 3, 4 и 5, подойдет, так как сумма данных чисел равна

б) Заметим, что и так как числа в последовательности натуральные. Значит,

Мы получили такое неравенство:

Заметим, что

Значит, максимальное значение

Действительно, сумма членов последовательности 1, 2, …, 41 меньше 900:

в) В предыдущем пункте мы показали, что

По условию сумма членов последовательности равна 123, значит,

Заметим, что

Значит,

Значит, при этом следовательно, или

Если то

Возьмем и Тогда пример для

Их сумма равна

Если то

Пусть Тогда Пример для

Их сумма равна