Системы в тригонометрии

Подсказка 1

Снизу у нас 2cos(2x)-1, а сверху cos(3x). Попробуйте выразить и то, и то через cos(x) и что-то заметить.

Подсказка 2

Как можно заметить, cos(3x)/(2cos(2x)-1)=cos(x). Попробуйте сделать тоже самое со вторым уравнением. Что можно сделать после подобных преобразований с этой системой?

Подсказка 3

Второе уравнение можно преобразовать, если выразить все через sin(x). Теперь, когда мы преобразовали, нужно подумать, как дальше решать подобную систему. Обычно системы решаются либо выражением каких-то переменных и последующей подстановкой, либо сложение/умножением целых равенств из этой системы. Подстановка здесь не кажется удачной идеей, так как синус и косинус не очень явно связаны друг с другом и подставляя, к примеру, синус, выраженный из второго равенства, сложно будет полностью избавиться от икса в первом. Громоздко. Умножение также не кажется интересным, так как слева у нас как раз дробь, справа слагаемые. Будет много слагаемых после раскрытия скобок. Тоже не удобно. Остается сложение:)

Подсказка 4

Действительно, если сложить эти два неравенства, то слева будет сумма дробей, а справа 2(сумма констант, равная 1, плюс по ОТТ единичка). Приведем к общему знаменателю и домножим на него. Что это дает? Какие случаи нужно рассмотреть?

Подсказка 5

Выходит, что sin(x+y)=sin(2y). Отсюда два варианта: 1)x+y=2y+2pi*k; 2)x+y=pi-2y+2pi*k. Второй случай сразу дает ответ на задачу. А что насчет первого? Получается, что x=y+2pi*k. Значит cos(x+3y)=cos(4y)=2cos^2(2y)-1. Осталось найти cos^2(2y) и задача решена. Попробуйте подставить в первое уравнение, доказанное ранее, x=y+2pi*k.