Системы в тригонометрии

Мы знаем, что . Значит, наша система принимает вид

Откуда, складывая и вычитая уравнения, получаем ответ.

Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их.

Значит, , тогда из системы получаем .

• Если , то и тогда .
• Если , то и тогда .

Запомнив, что ОДЗ состоит из таких пар , что , преобразуем второе уравнение к виду Значит, наша система сводится к следующей (а из неё, кстати, видно, что проверка ОДЗ не нужна, так как из первого уравнения следует, что , а из второго - что , так что система получается равносильная):

Откуда и получаем ответ (для получения можно сложить уравнения и поделить на , для - вычесть и поделить на ).

Возведем второе уравнение в квадрат.

Теперь учтём первое уравнение, подставим:

Пусть . Тогда . Так как , то . Тогда . Учитывая первое уравнение системы, по обратной теореме Виета и — корни уравнения . Тогда и .

• Если , то и .
• Если , то и .

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

Воспользуемся ОТТ:

Квадраты неотрицательные, а все скобочки тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

Решим для

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) Тогда из второго

2) Тогда

Решим для

1) тогда

2) тогда

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений

Подходят следующие варианты:

1)

2)

Умножаем первое уравнение на второе — на и вычитаем результаты:

Умножаем первое уравнение на второе — на и складываем результаты:

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только из второй серии — только Им соответствуют серия содержащая единственное значение и серия также содержащая единственное значение

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

Возводя в квадрат обе части первого уравнения и вычитая из полученного уравнения второе, придем к уравнению

которое сводится к уравнению , являющемуся следствием исходной системы. Тогда из второго уравнения исходной системы получим , откуда , так как в силу первого уравнения системы. Итак, и

Функции и - периодические функции периода . Поэтому является решением системы лишь тогда, когда будет решением системы при всех . Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что .

Пусть . Так как , то . В этом случае система записывается как

На промежутке функции и строго возрастающие. Из равенства

следует, что . Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения

на промежутке . Уравнение представляется как

Положим . Тогда

и, значит, . Решив уравнение

находим, что . Поэтому решениями заданной системы будут , где .

Вычтем второе уравнение из первого и применим метод вспомогательного угла:

Оба слагаемых не превосходят 2, значит равенство возможно лишь в том случае, если:

Откуда . Осталось подставить эти значения в уравнения системы и убедиться в том, что они подходят.

Из второго уравнения на ОДЗ следует, что .

Раскроем модуль одним способом:

, поэтому . Значит, . Подставим это во второе уравнение:

Тогда . Осталось подстановкой проверить, что для полученного решения модуль был раскрыт верно.

Теперь раскроем модуль другим способом.

Домножим на :

Если , то и при подстановке это не подходит.

Если , то и при подстановке это не подходит.

Заметим, что , а . Значит, нам дано

и некоторые ограничения на и

Сложим эти 2 уравнения:

• Если , то по условию

  

  Тогда .

• Если , то .

Значит, возможные значения — это и . Какие-то из них могли бы не достигаться из-за ОДЗ, но мы точно знаем, что значений хотя бы 2 и поэтому они оба достигаются.

Будем получать не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)

Как известно, , откуда скобка равна единице и . Остаётся подставить результат в систему

Первое решение.

При второе уравнение приобретает вид

Правая часть этого уравнения не меньше двух, а левая не больше двух, так как поэтому равенство может достигаться только при , что эквивалентно системе

равносильной

При подстановке убеждаемся, что эти значения и удовлетворяют ещё и первому уравнению системы.

Второе решение.

Домножим на 2 первое уравнение системы:

Вычтем первое уравнение из второго

Применим основное тригонометрическое тождество

В итоге так как получается, что

то должно выполняться

что равносильно

Подставляя в исходную систему находим

Преобразуем второе уравнение системы

Квадратичная функция принимает в точке наибольшее значение, равное . То есть левая часть неравенства не превосходит , а правая часть . Значит равенство возможно только в случае

При всех таких значениях в первом уравнении исходной системы имеем тождество, поэтому полученные пары — решения системы.

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число и оценим обе части

равенство может быть только в случае

Таким образом, система из условия сводится к

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда и

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно

Итого , и (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Полагая получаем систему уравнений

откуда . Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

Откуда уже тривиально выписываются решения.