Тема Тригонометрия

Системы в тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31970

Решите систему

{ cos(x− y)=2cos(x+ y); cosx cosy = 3. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если косинусы суммы и разности выглядят приятно, то ненулевое произведение косинусов - нет. Хочется что-то с ним сделать, а первое уравнение нам намекает на то, как стоит работать) Подумаем, что же можно сделать с произведением косинусов? В каких формулах оно возникает?

Подсказка 2

Можно заменить cos(x)cos(y) на с 1/2(cos(x-y) + cos(x-y))! Тогда уже имеем систему, в которой несложно найти cos(x+y) и cos(x-y). Далее можно будет найти x+y и x-y, а после - x и y :)

Показать ответ и решение

Мы знаем, что $cosx cosy = 1(cos(x+ y)+ cos(x− y)) 2$ . Значит, наша система принимает вид

{ cos(x− y)=2cos(x +y), { cos(x− y)= 1 { x− y = 2πn cos(x+ y)+cos(x− y)= 3 ⇐⇒ cos(x+y)= 1 ⇐⇒ x+ y = ±π +2πk 2 2 3

Откуда, складывая и вычитая уравнения, получаем ответ.

Ответ:

$(±π +(n+ k)π;± π+ (n − k)π),k,n∈ ℤ 6 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31971

Решите систему

{ √2sin x= 1− siny; √2cosx= cosy.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наличие sin(x) и cos(x), а так же выражение 1 - sin(y) намекает на тождество, которое хотелось бы использовать) На какое?

Подсказка 2

На основное тригонометрическое тождество! Но, чтобы им воспользоваться, необходимо возвести всё в квадрат! Далее можно попробовать избавиться от sin(x) и cos(x), найти значения тригонометрических функций от y, и, подставив в систему, найти значения тригонометрических функций от x! Остается лишь подставить в систему и согласовать x и y)

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их.

2= 1− 2siny+ 1

Значит, $siny =0$ , тогда из системы получаем $sin x= 1√- 2$ .

Если $y =2πn,n∈ ℤ$ , то $cosx= √1 2$ и тогда $x= π +2πk,k∈ ℤ 4$ .
Если $y =2πn +π,n∈ ℤ$ , то $√1- cosx= − 2$ и тогда $3π x= 4 +2πk,k∈ℤ$ .

Ответ:

$(π∕4+2πk,2πn),(3π∕4+ 2πk,2πn +π), n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31974

Решите систему

{ cosx cosy = − 1; tgy = ctgx. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая первое уравнение системы, кажется, что во втором уравнении тоже следует перейти к синусам и косинусам, раскрыв тангенс и котангенс по определению! После преобразований там может возникнуть уже известное нам выражение...

Подсказка 2

Конечно, во втором уравнении стоит получить равенство произведений двух синусов и двух косинусов, ведь произведение двух косинусов мы уже знаем! Тогда можно и произведение двух синусов найти и перейти к новой системе, в которой будут уже найденные произведения синусов и косинусов. Но вот будет ли она равносильна изначальной?

Подсказка 3

Оказывается, что да! Действительно, посмотрите на ОДЗ, которая задаётся тангенсом и котангенсом, и на новую систему :) Как же теперь решать эту систему? Ну, там заметны выражения, которые напоминают косинус суммы/разности. Тогда что можно сделать с уравнениями?

Подсказка 4

Правильно, сложить и вычесть их, тогда получим как раз косинусы суммы и разности! Остаётся только перейти к уравнениям для x+y и x-y и решить уже линейную систему)

Показать ответ и решение

Запомнив, что ОДЗ состоит из таких пар $(x,y)$ , что $cosy ⁄=$ $0,sinx⁄= 0$ , преобразуем второе уравнение к виду $sinxsin y = cosxcosy.$ Значит, наша система сводится к следующей (а из неё, кстати, видно, что проверка ОДЗ не нужна, так как из первого уравнения следует, что $cosx⁄= 0$ , а из второго - что $sinx ⁄=0)$ , так что система получается равносильная):

{ 1 { 1 { 2π- cosxcosy = −41, ⇐⇒ cos(x − y)= −2, ⇐⇒ x − y = ±π 3 +2πk, sinxsiny = − 4 cos(x +y)= 0. x +y = 2 +πn

Откуда и получаем ответ (для получения $x$ можно сложить уравнения и поделить на $2$ , для $y$ - вычесть и поделить на $2$ ).

Ответ:

$(π ± π +(n + k)π;π ∓ π+ (n− k)π), n,k ∈ℤ 4 3 2 4 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31975

Решите систему

{ cosx +cosy = 1; sinxsiny = 3. 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, в первом уравнении сумма косинусов, а во втором — произведение синусов( Связать их не очень просто, но, может быть, получится во втором уравнении перейти к косинусам, если возвести его в квадрат. Тогда там, возможно, образуется что-то уже более похожее на первое уравнение!

Подсказка 2

Действительно, при возведении второго уравнения в квадрат, использовании основного тригонометрического тождества и раскрытии скобок там вылазит единичка, которую можно заменить на левую часть первого уравнения! А дальше пару классных сокращений, и получим уравнение, которое уже можно решить!

Подсказка 3

Конечно, делаем замену и решаем квадратное уравнение. Только надо не забыть сделать ограничение на новую переменную! После решения уравнения мы будем знать сумму косинусов и их произведение, а такая система уже решается легко!

Показать ответ и решение

Возведем второе уравнение в квадрат.

2 2 2 2 2 2 9- (1− cos x)(1− cosy)= 1− cos y− cos x+ cos xcosy = 16

Теперь учтём первое уравнение, подставим:

9 (cosx+ cosy)2− cos2y− cos2x+ cos2xcos2y = 16

2cosxcosy+ cos2x cos2y = 9 16

Пусть $t =cosxcosy$ . Тогда $t2+2t− 916 = (t− 14)(t+ 94)= 0$ . Так как $t= cosxcosy$ , то $|t|≤1$ . Тогда $t= cosx cosy = 14$ . Учитывая первое уравнение системы, по обратной теореме Виета $cosx$ и $cosy$ — корни уравнения $z2− z+ 14 = (z− 12)2 =0$ . Тогда $cosx= cosy = 12$ и $x= ±π3 +2πn,n∈ ℤ$ .

Если $x = π3 + 2πn,n ∈ℤ$ , то $√- siny =-32$ и $y = π3 + 2πk,k∈ ℤ$ .
Если $x = − π3 + 2πn,n∈ ℤ$ , то $- siny =− √23$ и $y = − π3 + 2πk,k∈ ℤ$ .

Ответ:

$(±π∕3+ 2πn,±π∕3+ 2πk), n,k ∈ℤ$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51603

Решить систему уравнений

{ 6sinxcosy+ 2cosxsin y = −3; 5sinxcosy− 3cosxsin y = 1.

Показать ответ и решение

Полагая $sinx cosy = u,$ $cosxsiny =v,$ получаем систему уравнений

{ 6u+ 2v = −3 5u− 3v = 1

откуда $u =− 1,v =− 3 4 4$ . Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

{ sinxcosy = − 1, { sin(x +y)= −1 cosxsiny = −4 3, sin(x − y)= 1 4 2

Откуда уже тривиально выписываются решения.

Ответ:

$x =− π+ (−1)k-π+ πk+ πn 4 12 2$ ,

$π k+1-π πk y = −4 + (−1) 12 − 2 + πn,$

$k∈ℤ,n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74590

Решите систему уравнений

{ sin3x+ sin4y = 1, 3 5 cos x+ cos y = 1.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наши выражения как-то подозрительно напоминают основное тригонометрическое тождество. Только вот у нас sin не складывается с cos, да и степени не те... Давайте хотя бы сделаем первое условие, для этого сложим два уравнения...

Подсказка 2

Имеем, что sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y = 2. С другой стороны, 2 = sin²x+cos²x+sin²y+cos²y. Как из этого получить интересное неравенство...

Подсказка 3

Т.к. sinⁿx ≤ sin²x и cosⁿx ≤ cos²x, при n ≥ 3, то 2 = sin³x+sin⁴x+cos³y+cos⁵y ≤ sin²x+sin²x+cos²y+cos²y = 2. Значит все неравенства обращаются в равенства. Решите получившуюся систему и радуйтесь жизни!

Показать ответ и решение

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

3 4 3 5 sin x+ sin y+ cos x+ cos y = 2

Воспользуемся ОТТ:

3 4 3 5 2 2 2 2 sin x +sin y +cosx +cos y = sin x+cos x+ sin y+ cos y

sin2x(sinx − 1)+ cos2x(cosx− 1)+sin2y(sin2y− 1)+cos2y(cos2y− 1)= 0

Квадраты неотрицательные, а все скобочки $≤ 0,$ тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

( ||| sin2 x(sinx − 1)= 0 |{ cos2x(cosx− 1)= 0 ||| sin2 y(sin2y− 1)= 0 |( cos2y(cos2y − 1)= 0

Решим для $x :$

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) $sinx= 0.$ Тогда из второго $cosx= 1 =⇒ x= 2πk,k∈ ℤ$

2) $sinx= 1.$ Тогда $cosx= 0 =⇒ x = π+ 2πn,n ∈ℤ 2$

Решим для $y :$

1) $siny = 0,$ тогда $2 cos y = 1 =⇒ cosy = ±1 =⇒ y = πm,m ∈ℤ$

2) $2 sin y = 1 =⇒ sin y = ±1,$ тогда $π cosy = 0,y = 2 + πt,t∈ ℤ$

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений $sinx,cosx,siny,cosy.$

Подходят следующие варианты:

1) $π x= 2πk,y = 2 +2πt,$ $k,t∈ ℤ$

2) $π x= 2 + 2πn,y =2πm,$ $n,m ∈ ℤ$

Ответ:

$(2πk,π+ 2πt),(π +2πn,2πm),k,n,m,t∈ℤ 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76629

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате ${(x;y):0≤x ≤2π,0≤ y ≤ 2π}$ удовлетворяют системе уравнений

{ sin x+siny = sin1 cosx +cosy = cos1

Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что если поскладывать и повычитать уравнения из этой системы, то они смогут свернуться по известным нам тригонометрическим формулам, возможно, только стоит домножить их предварительно на что-то.

Подсказка 2

Попробуйте домножить первое уравнение на сos(1), второе на sin(1) и вычесть, а также умножить первое на sin(1), второе на cos(1) и сложить, в первом случае так мы избавимся от противных sin(1), cos(1), а во втором заменим их на 1, поработайте с полученными уравнениями.

Подсказка 3

Мы получили sin(x-1) = sin(1-y), cos(x-1) + cos(y-1) = 1, первое легко решается и может дать нам условия на корни, которые можно использовать во втором.

Показать ответ и решение

Умножаем первое уравнение на $cos1,$ второе — на $sin 1$ и вычитаем результаты:

(sinx+ siny)cos1− (cosx+ cosy)sin1 =0

(sinx cos1− cosxsin 1)+ (sinycos1 − cosysin1)= 0

sin(x− 1)+ sin(y− 1)= 0

sin(x− 1)= sin(1− y)

[ x− 1= 1− y+2πk x− 1= π− 1+ y+2πm

Умножаем первое уравнение на $sin1,$ второе — на $cos1$ и складываем результаты:

(sinx+ siny)sin1+ (cosx+ cosy)cos1 =1

(cosxcos1+ sinxsin 1)+ (cosycos1+sinysin1)= 1

cos(x− 1)+ cos(y− 1) =1

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

⌊ y = π+ 1+ 2πs 2cos(y− 1)= 1⇒ cos(y− 1) =cosπ ⇒ |⌈ 3 3 y = 1− π+ 2πl 3

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только $y1 = π + 1, 3$ из второй серии — только $y2 =1 + 5π . 3$ Им соответствуют серия $x1 = 2− y1+2πk,$ содержащая единственное значение $5π x1 = 1+ 3 ,$ и серия $5π- x2 = 2− y2+ 2πk ⇒ x2 = 1− 3 + 2πl$ также содержащая единственное значение $π x2 = 1+ 3.$

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

{ cos(x− 2)= − cos(y− 2) ⇒ 0= 1 cos(x− 2)+cos(y− 2)= 1

Ответ:

$2;(1+ 5π,1+ π),(1 + π ,1+ 5π) 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#91678

Решить систему уравнений

{ ||cos(3x + π)||= −√2-cosy cos2y+ 2s4in2x+ 3 =2sin32x 4

Показать ответ и решение

Возводя в квадрат обе части первого уравнения и вычитая из полученного уравнения второе, придем к уравнению

2( π ) 1 2 cos 3x +4 = 4 − 2sin2xcos 2x,

которое сводится к уравнению $1 sin2x= − 2$ , являющемуся следствием исходной системы. Тогда из второго уравнения исходной системы получим $cos2y = 0$ , откуда $1 cosy = −√2$ , так как $cosy ≤ 0$ в силу первого уравнения системы. Итак, $1 sin2x =− 2$ и $1 cosy = −√2-.$

Ответ:

$((−1)k+1 π-+ πk;± 3π+2πn) ,k ∈ℤ,n∈ ℤ 12 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#94203

Решите систему уравнений

{ |sinx|+1 =tgy |siny|+1 =tgx

Источники: САММАТ - 2021, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удобно ли нам рассматривать все пары (x,y), где оба числа действительные? Или же можно как-то ограничить это множество аргументов? Конечно, можно, ведь tg и sin — периодические функции. На каком тогда промежутке было бы удобно рассматривать наши функции и что тогда будет давать некоторая пара (x₀, y₀), которая является решением на нём?

Подсказка 2

Понятно, что удобно было бы рассматривать это на промежутке [-π/2, π/2], так как это и есть период tg и sin. При этом, решение на таком промежутке дает множество решений вида (x₀+πn, y₀+πm). Что делать дальше? Может быть, ещё ограничить множество, на котором мы рассматриваем, с учётом того, как выглядит система? У нас ведь слева выражение ≥ 1.

Подсказка 3

Так как слева у нас выражение ≥ 1, то tg(x) ≥ 1, а значит мы можем рассматривать выражение на [π/4, π/2]. Что на этом промежутке можно сказать про функции sin(x) и tg(x)? А что нам это может дать? Как мы преобразуем систему, чтобы использовать это знание о функциях на новом промежутке?

Подсказка 4

Эти функции — строго возрастающие на данном промежутке, а значит, если мы сложим оба равенства, то получим, что f(x) = f(y), где f(x) = sin(x)+tg(x), при этом в силу строгого возрастания, x = y (в рамках этого промежутка). Значит, наша система свелась к тому, чтобы найти решение уравнения sin(x)+1 = tg(x) ⇔ sin(x)*cos(x) = sin(x)-cos(x). Заметим, что выражения sin(x)-cos(x) и sin(x)*cos(x) связаны очень хорошими преобразованиями из одного в другое и выражаются друг через друга крайне понятно. Выразите и решите!

Подсказка 5

Если sin(x)-cos(x) = t, то t² = 1-2sin(x)*cos(x) = 1-2t. Остается найти t, приравнять это значение к sinx - cosx, а потом найти x, а значит и y. Но вот вопрос - какое тогда множество решений у нас будет?

Показать ответ и решение

Функции $|sinx|$ и $tgx$ - периодические функции периода $π$ . Поэтому $x =x ,y = y 0 0$ является решением системы лишь тогда, когда $x =x0+ nπ,y = y0+$ $m π$ будет решением системы при всех $n,m ∈ℤ$ . Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что $x,y ∈ (− π∕2;π∕2)$ .

Пусть $x,y ∈ (−π∕2;π∕2)$ . Так как $tgx≥ 1,tgy ≥1$ , то $x,y ∈ [π∕4;π∕2)$ . В этом случае система записывается как

{ sinx+ 1= tgy, siny+ 1=tgx.

На промежутке $[π∕4;π∕2)$ функции $sinx$ и $tgx$ строго возрастающие. Из равенства

sinx+ tg x= siny+ tgy

следует, что $y = x$ . Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения

sinx +1 =tgx

на промежутке $[π∕4;π∕2)$ . Уравнение представляется как

sinx cosx= sinx − cosx.

Положим $z = sinx − cosx$ . Тогда

1 − z2 = 2z

и, значит, $√ - z =− 1+ 2$ . Решив уравнение

√- sinx− cosx =− 1+ 2,

находим, что $π 2−-√2 x= 4 +arcsin 2$ . Поэтому решениями заданной системы будут $x=$ $π 2−√2 π 2−√2- 4 + arcsin 2 + nπ,y = 4 + arcsin 2 + mπ$ , где $n,m ∈ℤ$ .

Ответ:

$(π +arcsin 2−√2+ nπ;π+ arcsin2−√2 +m π), n,m ∈ ℤ 4 2 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31392

Решить систему уравнений

{ √2 sinx− √3cosy = 5; siny+ √2cosx = − 32. 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие удачные коэффициенты собрались перед синусами и косинусами! К сожалению, синус и косинус х находятся в разных уравнениях. Давайте совместим их в одно, вычитая из первого равенства второе.

Подсказка 2

Нам хочется воспользоваться вспомогательным углом, ведь коэффициенты перед функциями от х это √2 и √2, а перед у это 1 и √3. Для того, чтобы эти коэффициенты стали синусом и косинусом известных нам углов, необходимо поделить выражение на 2!

Показать ответ и решение

Вычтем второе уравнение из первого и применим метод вспомогательного угла:

π π 2sin(x− 4)− 2sin(y+ 3)= 4

Оба слагаемых не превосходят 2, значит равенство возможно лишь в том случае, если:

{ π sin(x− 4π)= 1 sin(y+ 3)= −1

Откуда $3π 5π- x= 4 + 2πn;y = − 6 +2πk,n,k∈ℤ$ . Осталось подставить эти значения в уравнения системы и убедиться в том, что они подходят.

Ответ:

$(3π+ 2πn;− 5π+ 2πk),n,k ∈ℤ 4 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32375

Решите систему

{ − ctg xctgy− ctgy +|ctgx − ctgy− 3ctgxctgy|=0; √3−-tgx-+tgy+ tg y− 5 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите на эту систему. Что в этой системе кажется наиболее инородным? Модуль. Что мы привыкли делать с ним? Раскрывать по определению(чаще всего именно так, потому что работать напрямую с модулем, зачастую, затруднительно). Сделайте тоже самое.

Подсказка 2

Если раскрыть модуль с минусом, то из первого уравнения выходит, что либо ctg(x)=0 , либо ctg(y)=1/2. Но ctg(x)!=0, так как тангенс тоже должен быть определен. Поэтому ctg(y)=1/2. Значит tg(y)=2. Подставляя это во второе уравнение найдем первую серию решений(не забывая проверить то, что модуль был раскрыт верно и ОДЗ выполнено). Теперь осталось раскрыть модуль другим способом.

Подсказка 3

Второй случай не дает ответов сразу. У нас получается выражение, где все завязано на котангенсах, но при этом, если мы планируем в явном виде подставить выражение, к примеру , tg(x) во второе уравнение, то нам надо связь из котангенсов переделать в связь на тангенсы. Как это сделать?

Подсказка 4

Для начала, можно выразить ctg(y) через ctg(x), а потом перевернуть дробь(которая будет получена при выражении ctg(y) ) и заменить ctg(x) на 1/tg(x). И получим в явном виде , выраженное через tg(x), значение tg(y) . Остается подставить это во второе уравнение и найти его корни, после чего проверить так ли мы раскрыли модуль и учесть ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= πk 2$ , $x⁄= πk 2$ и $3− tgx+ tgy ≥0$ , $tgy− 5≤ 0$ .

Из второго уравнения на ОДЗ следует, что $2 − tgx= tg y− 11tgy+ 22 (∗)$ .

Раскроем модуль одним способом:

− ctgxctgy− ctgy− (ctgx− ctgy − 3ctgxctgy)= − ctgxctg y− ctgx+ 3ctgxctgy = 0

$ctgx ⁄=0$ , поэтому $2ctgy =1$ . Значит, $tgy =2$ . Подставим это во второе уравнение:

∘ ------ 5− tgx− 3= 0

Тогда $tgx = −4$ . Осталось подстановкой проверить, что для полученного решения модуль был раскрыт верно.

Теперь раскроем модуль другим способом.

− ctgxctgy − ctgy+ (ctgx− ctgy− 3ctgx ctgy)=

=− 4ctgxctgy− 2ctgy+ ctgx =0

Домножим на $tg xtgy$ :

−4 − 2tgx+ tgy = (∗)= −4+ 2(tg2y− 11tgy +22)+tgy =

=2tg2y− 21tgy +40= (tgy − 8)(2tgy− 5)= 0

Если $tgy = 8$ , то $2 tgx= −(tg y− 11tgy+ 22)= 2$ и при подстановке это не подходит.

Если $tgy = 2.5$ , то $2 tgx= −(tgy − 11tgy+ 22)= −0.75$ и при подстановке это не подходит.

Ответ:

$(− arctan4+ πn;arctan2 +πk), n∈ ℤ,k∈ ℤ$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31976

Известно, что

-----cos3x---- 2 2 (2cos2x − 1)cosy = 5 + cos (x +y)

----sin3x----= 3 +sin2(x+ y). (2cos2x+ 1)siny 5

Найдите все возможные значения выражения $cos(x +3y)$ , если известно, что их не менее двух.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Снизу у нас 2cos(2x)-1, а сверху cos(3x). Попробуйте выразить и то, и то через cos(x) и что-то заметить.

Подсказка 2

Как можно заметить, cos(3x)/(2cos(2x)-1)=cos(x). Попробуйте сделать тоже самое со вторым уравнением. Что можно сделать после подобных преобразований с этой системой?

Подсказка 3

Второе уравнение можно преобразовать, если выразить все через sin(x). Теперь, когда мы преобразовали, нужно подумать, как дальше решать подобную систему. Обычно системы решаются либо выражением каких-то переменных и последующей подстановкой, либо сложение/умножением целых равенств из этой системы. Подстановка здесь не кажется удачной идеей, так как синус и косинус не очень явно связаны друг с другом и подставляя, к примеру, синус, выраженный из второго равенства, сложно будет полностью избавиться от икса в первом. Громоздко. Умножение также не кажется интересным, так как слева у нас как раз дробь, справа слагаемые. Будет много слагаемых после раскрытия скобок. Тоже не удобно. Остается сложение:)

Подсказка 4

Действительно, если сложить эти два неравенства, то слева будет сумма дробей, а справа 2(сумма констант, равная 1, плюс по ОТТ единичка). Приведем к общему знаменателю и домножим на него. Что это дает? Какие случаи нужно рассмотреть?

Подсказка 5

Выходит, что sin(x+y)=sin(2y). Отсюда два варианта: 1)x+y=2y+2pi*k; 2)x+y=pi-2y+2pi*k. Второй случай сразу дает ответ на задачу. А что насчет первого? Получается, что x=y+2pi*k. Значит cos(x+3y)=cos(4y)=2cos^2(2y)-1. Осталось найти cos^2(2y) и задача решена. Попробуйте подставить в первое уравнение, доказанное ранее, x=y+2pi*k.

Показать ответ и решение

Заметим, что $sin3x= sinx(4cos2x − 1)= sinx(2cos2x+ 1)$ , а $cos3x =cosx(4cos2 x− 3)= cosx(2cos2x − 1)$ . Значит, нам дано

cosx 2 2 sinx 3 2 cosy = 5 + cos(x+ y) и -siny = 5 +sin (x+ y)

и некоторые ограничения на $x$ и $y$

Сложим эти 2 уравнения:

cosx+ sin-x= 2 cosy sin y

cosxsiny+ sinxcosy =2cosysiny

sin(x+y)= sin2y

Если $x +y =2y+ 2πk$ , то по условию
$1= 2+ cos2(x +y)= 2 +cos2(2y) и 1 = 3 +sin2(x+ y)= 3+ sin2(2y) 5 5 5 5$
Тогда $2 1 cos(x +3y)= cos4y = 2cos(2y)− 1= 5$ .
Если $x +y =π − 2y+ 2πk$ , то $cos(x+ 3y) =− 1$ .

Значит, возможные значения — это $− 1$ и $1 5$ . Какие-то из них могли бы не достигаться из-за ОДЗ, но мы точно знаем, что значений хотя бы 2 и поэтому они оба достигаются.

Ответ:

${1∕5;−1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#64398

Решите систему уравнений

(| -----x---- ( 2 2) ∘ π- { cos(x2y− y2) − y⋅tg x( − y )= ∘2; |( cos(x2-− y2) − x⋅tg x2− y2 = π3.

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 8 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе тригонометрических функций у нас стоит разность квадратов, попробуем получить её не только в аргументах, но и множителем! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов помогает нам: запишите вместо нашей системы равносильную ей, полученную сложением и вычитанием наших исходных уравнений. А затем можно перемножить имеющуюся пару уравнений.

Подсказка 3

Тригонометрическая формула, связывающая квадрат косинуса с квадратом тангенса поможет нам сделать интересный вывод! Таким образом мы узнаём значение x² - y²

Подсказка 4

Остаётся подставить найденное в систему и решить линейные уравнения!

Показать ответ и решение

Будем получать $t= x2 − y2$ не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)

({ (-1- ) ∘ π- ∘-π ( ) (x +y)(cos1t − tgt)= ∘ 2π + ∘-3π =⇒ t-12-− tg2t = π − π = π ( (x − y) cost + tgt = 2 − 3 cos t 2 3 6

Как известно, $1 ∀t: cos2t = tg2t+ 1$ , откуда скобка равна единице и $π t =-6$ . Остаётся подставить результат в систему

( 2 1 ∘π- ( ∘--- ( √- √-√- { √3x −√3-y = ∘-2 ⇐ ⇒ { 2x− y = 3π2- ⇐⇒ { x= 2√-33√+2√2√π ( √23y −√13-x= π3 ( 2y− x= √π ( y =-33+√22-2 π

Ответ:

$(2√3√+√2√π,√3+√2√2√π) 32 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31197

Решите систему уравнений

{ 2cosx +cos2 y− cos2xsin2y = 1; 4cosx − 2cos2x− sin3y = 3.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Пока выглядит страшно. Давайте попробуем сделать выражение покрасивее и одно, а не два. Домножим первое уравнение на 2, вычтем его из второго.

Подсказка 2.

Пока выглядит страшно до сих пор, вспоминаем, что мы знаем про косинусы и синусы в квадрате - тригонометрическое тождество. В этой задаче оно нам пригодится в таком виде = (1- cos²(x)) = sin²(x). Давайте используя это преобразуем 2sin²(y)cos^2(x), ведь его трудно оценивать.

Подсказка 3.

А теперь наша цель все же сделать оценку! Для этого давайте перенесем направо что-то, чтобы правая часть точно была неотрицательной. Например, sin³(y). Если все правильно, у нас получится такое:

Показать ответ и решение

Первое решение.

При $t= cosx$ второе уравнение приобретает вид

2 3 4t− 2t = 3+ sin y

Правая часть этого уравнения не меньше двух, а левая не больше двух, так как $4t− 2t2 = 2− 2(1− t)2,$ поэтому равенство может достигаться только при $3 +sin3y =2,2− 2(1− t)2 = 2$ , что эквивалентно системе

{ cosx =1 sin3y = −1

равносильной

{ x= 2πn,n ∈ℤ y = − π +2πk,k∈ℤ 2

При подстановке убеждаемся, что эти значения $x$ и $y$ удовлетворяют ещё и первому уравнению системы.

Второе решение.

Домножим на 2 первое уравнение системы:

{ 4cosx +2cos2 y− 2cos2xsin2y = 2; 4cosx − 2cos2 x− sin3y = 3.

Вычтем первое уравнение из второго

−2cos2x− sin3y− 2cos2y+ 2cos2x sin2y = 1

Применим основное тригонометрическое тождество

−2cos2x− 2cos2y +2cos2x(1− cos2y)= 1+sin3 y

В итоге так как получается, что

0≥ −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y ≥ 0,

то должно выполняться

0= −2cos2y − 2cos2 xcos2y = 1+ sin3y = 0,

что равносильно

{ cosy = 0 1+ sin3y = 0

Подставляя в исходную систему $π y =− 2 + 2πk∈ℤ,$ находим $x =2πn,n∈ ℤ.$

Ответ:

$(2πn,− π +2πk);n,k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85309

Решите систему уравнений

{ 2sinx +sin2y − sin2xcos2y = 1; 2cos2x +4sin x− cos3y = 5.

Источники: ПВГ - 2015, Брянск, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы

2 3 2− 2sin x+ 4sinx= 5+ cos y

2 3 2(− (sinx − 1) + 2)= 5+ cos y

Квадратичная функция $y = 2(− (t− 1)2+ 2)$ принимает в точке $t= 1$ наибольшее значение, равное $4$ . То есть левая часть неравенства не превосходит $4$ , а правая часть $5+cos3 y ≥5 − 1 =4$ . Значит равенство возможно только в случае

{ 5 +cos3y =4 2(−(sinx− 1)2 +2)= 4

{ cosy = −1 sin x= 1

{ y = π+ 2πk, k∈ℤ x= π2 +2πk, k ∈ℤ

При всех таких значениях $(x,y)$ в первом уравнении исходной системы имеем $2+ 0− 1 ⋅1 =1$ тождество, поэтому полученные пары — решения системы.

Ответ:

$(π∕2+2πn;π+ 2πk),n,k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31195

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте внимательнее посмотрим на первое уравнение. Слева квадраты обратных чисел, справа максимум 2. Вспомним, что a + 1/a >= 2! То есть у нас должно достигаться равенство двойке.

Подсказка 2!

Попробуйте использовать это и получить теперь условия на sin(y), tg(x), cos(z)!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Предыдущий раздел

Следующий раздел