Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тригонометрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85309

Решите систему уравнений

{ 2sinx +sin2y − sin2xcos2y = 1;
  2cos2x +4sin x− cos3y = 5.

Источники: ПВГ - 2015, Брянск, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы

      2              3
2− 2sin x+ 4sinx= 5+ cos y

          2          3
2(− (sinx − 1) + 2)= 5+ cos y

Квадратичная функция y = 2(− (t− 1)2+ 2)  принимает в точке t= 1  наибольшее значение, равное 4  . То есть левая часть неравенства не превосходит 4  , а правая часть 5+cos3 y ≥5 − 1 =4  . Значит равенство возможно только в случае

{ 5 +cos3y =4
  2(−(sinx− 1)2 +2)= 4

{
  cosy = −1
  sin x= 1

{
  y = π+ 2πk, k∈ℤ
  x= π2 +2πk, k ∈ℤ

При всех таких значениях (x,y)  в первом уравнении исходной системы имеем 2+ 0− 1 ⋅1 =1  тождество, поэтому полученные пары — решения системы.

Ответ:

 (π∕2+2πn;π+ 2πk),n,k∈ ℤ

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!