Системы с логарифмами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторые числа 
и 
удовлетворяют равенствам
Найдите все возможные значения произведения 
Подсказка 1
Сразу видно, что логарифмы связаны между собой, что можно сделать для дальнейшего удобства?
Подсказка 2
Сделать замены! Введем 2 переменные (для каждого из равенств) и запишем условие с учётом замены. Получится 2 уравнения 4 степени, от которых можно равносильно перейти к уравнениям 5ой степени. Корни совсем неочевидны, да и, казалось, нам необязательно искать их точно - достаточно найти какую-то связь между переменными, чтобы ответить на вопрос задачи) Что нам помогает при исследовании корней уравнения больших степеней?
Подсказка 3
Производная! С помощью неё можно, к примеру, что-то узнать про количество корней уравнения. Помним, что уравнение нечетной степени имеет не менее одного корня. Что тогда можно сказать про корни уравнений?
Подсказка 4
Производные положительны, уравнение нечетной степени, значит уравнения имеют ровно по одному корню! Замечаем связь между коэффициентами уравнений. Что тогда можно сказать про корни?
Подсказка 5
Корни противоположны! Остаётся лишь сделать обратную замену, из которой xy находится несложно!
Обозначим 
, 
Так как
то исходные уравнения можно записать в виде
 |
Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим
Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.
Аналогично рассмотрим второе уравнение:
Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену
то оно принимает вид
Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
